Campo y potencial eléctrico

a) i) Sí puede. El campo eléctrico es un vector, y las contribuciones de las dos cargas pueden cancelarse. Al ser las partículas idénticas (misma carga $q$), el punto donde eso ocurre es el punto medio del segmento que las une: allí ambos campos tienen el mismo módulo, $K q/(d/2)^2$, y sentidos opuestos (los dos se alejan de su carga si son positivas, o se acercan si son negativas).$$\vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \vec{0} \quad\text{en el punto medio}$$a) ii) No puede. El potencial es un escalar y, siendo las cargas idénticas, del mismo signo:$$V = K\,q\left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right)$$Los dos sumandos tienen el mismo signo, así que su suma nunca se anula a distancia finita: es siempre positiva si las cargas son positivas, y siempre negativa si son negativas. El potencial solo tiende a cero en el infinito.

En el punto medio, por ejemplo, donde el campo es nulo, el potencial vale $4Kq/d$: máximo en valor absoluto, precisamente donde el campo se anula. Es un buen recordatorio de que campo y potencial son magnitudes independientes.

(Si las cargas fuesen de signos opuestos la situación se invertiría: el potencial se anularía en el punto medio y el campo no se anularía en ningún punto entre ellas.)

b) i) La partícula $q_2$ se abandona en reposo a $r_0 = 5 - 2 = 3\,\text{m}$ de $q_1$. Como ambas cargas son positivas, se repelen y $q_2$ sale despedida hacia el infinito.

Energía potencial inicial:$$E_{p,0} = \frac{K\,q_1\,q_2}{r_0} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 3\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 10^{-6}}{3} = \frac{0{,}135}{3} = 0{,}045\ \text{J}$$En el infinito la energía potencial se anula, así que toda esa energía se ha convertido en cinética:$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = 0{,}045 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\cdot 0{,}045}{1{,}5\cdot 10^{-4}}} = \sqrt{600}$$$$v = 24{,}5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$

b) ii) Para que $q_2$ no se mueva al soltarla, la fuerza total sobre ella debe anularse.

La fuerza que ejerce $q_1$ sobre $q_2$ es repulsiva (ambas positivas) y, estando $q_1$ a la izquierda, empuja a $q_2$ hacia $+X$:$$F_{12} = \frac{K\,q_1\,q_2}{3^2} = \frac{0{,}135}{9} = 0{,}015\ \text{N}\quad\text{(hacia } +X)$$La tercera carga, situada en $(0,0)$ —también a la izquierda de $q_2$—, debe ejercer una fuerza de $0{,}015\,\text{N}$ hacia $-X$, es decir, atrayendo a $q_2$ hacia sí. Como $q_2$ es positiva, para atraerla $q_3$ tiene que ser negativa.

La distancia de $(0,0)$ a $(5,0)$ es $5\,\text{m}$:$$\frac{K\,|q_3|\,q_2}{5^2} = 0{,}015 \quad\Longrightarrow\quad |q_3| = \frac{0{,}015\cdot 25}{9\cdot 10^{9}\cdot 5\cdot 10^{-6}} = \frac{0{,}375}{4{,}5\cdot 10^{4}}$$$$q_3 = -8{,}33\cdot 10^{-6}\ \text{C}$$El valor absoluto es mayor que el de $q_1$, como era de esperar: $q_3$ está más lejos (a $5\,\text{m}$ frente a $3\,\text{m}$) y necesita más carga para compensar. Concretamente, en la proporción $(5/3)^2 = 2{,}78$, y en efecto $8{,}33/3 = 2{,}78$ ✓.