Inducción electromagnética

a) El campo creado por un hilo rectilíneo indefinido tiene módulo$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}$$es decir, depende únicamente de la distancia $d$ al hilo. Con el hilo vertical y la corriente hacia arriba, el campo en la región donde está la espira (a su derecha) es entrante en el papel, y es tanto más intenso cuanto más cerca del hilo.

i) La espira se mueve paralela al hilo. Al desplazarse paralelamente, la distancia al hilo no cambia en ningún punto de la espira. El campo que la atraviesa es el mismo en todo instante y su área tampoco varía, así que$$\Phi = \text{constante} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 0$$No se induce corriente alguna. La espira se mueve y está inmersa en un campo magnético, pero no hay variación de flujo, que es lo único que induce.

ii) La espira se aleja del hilo. Ahora la distancia $d$ aumenta, así que el campo que la atraviesa disminuye y con él el flujo entrante:$$\Phi \text{ (entrante) disminuye} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon \neq 0$$Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a esa disminución y genera en el interior de la espira un campo entrante, del mismo sentido que el que está perdiendo. Aplicando la regla de la mano derecha, eso corresponde a una corriente en sentido horario (vista desde el lector).

Esquema: el hilo vertical con la corriente hacia arriba, la espira a su derecha con cruces (campo entrante) cada vez menos densas al alejarse, y dentro de la espira una flecha circular en sentido horario. La fuerza magnética resultante se opone al alejamiento: hay que tirar de la espira para separarla.

b) i) El área de la espira es$$S = l^2 = (0{,}04)^2 = 1{,}6\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$$Orientación inicial. La espira está en el plano $XY$, luego su vector superficie es perpendicular a ese plano, es decir, va según el eje $Z$. Pero el campo va según el eje $X$, así que en $t = 0$ ambos vectores son perpendiculares entre sí:$$\Phi(0) = B\,S\cos 90^\circ = 0$$El flujo inicial es nulo, y la función que empieza en cero es el seno. Al girar la espira en torno al eje $Y$ con velocidad angular $\omega$, el ángulo entre $\vec{B}$ y el vector superficie pasa de $90^\circ$ a $90^\circ - \omega t$, y$$\Phi(t) = B\,S\,\text{sen}(\omega t) = 3\cdot 1{,}6\cdot 10^{-3}\,\text{sen}(100\,t)$$$$\Phi(t) = 4{,}8\cdot 10^{-3}\,\text{sen}(100\,t)\ \ \text{Wb}$$El flujo oscila entre $+4{,}8\cdot 10^{-3}\,\text{Wb}$ y $-4{,}8\cdot 10^{-3}\,\text{Wb}$, pasando por cero cada vez que la espira vuelve a contener al campo en su plano.

b) ii) Aplicando la ley de Faraday-Lenz:$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -B\,S\,\omega\cos(\omega t) = -4{,}8\cdot 10^{-3}\cdot 100\cdot\cos(100\,t)$$$$\varepsilon(t) = -0{,}48\,\cos(100\,t)\ \ \text{V}$$Es una fuerza electromotriz alterna, de amplitud $0{,}48\,\text{V}$ y la misma frecuencia angular que el giro. Éste es el principio de funcionamiento del alternador.

Nótese el desfase de $90^\circ$ entre flujo y f.e.m.: en $t = 0$ el flujo es nulo pero varía a máxima velocidad, y por eso la f.e.m. alcanza ahí su valor máximo, $0{,}48\,\text{V}$.