Inducción electromagnética

a) i) Verdadera. Con el plano perpendicular al campo, la normal es paralela a $\vec{B}$ y $\cos\theta = 1$:$$\Phi(t) = B(t)\,S = (a\,t + b)\,\pi R^2$$$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -a\,\pi R^2 = \text{constante}$$En efecto, un campo que crece linealmente con el tiempo induce una f.e.m. constante.

a) ii) Falsa. El "siempre" es lo que la hace falsa. Si el campo es paralelo al plano de la espira, la normal es perpendicular a $\vec{B}$, $\cos\theta = 0$ y el flujo es nulo en todo instante:$$\Phi(t) = 0 \quad\text{para todo } t \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 0$$Por muy variable que sea el campo, no se induce nada. Lo que debe variar es el flujo, no el campo.

b) i) Superficie de la espira:$$S = \pi R^2 = \pi (0{,}20)^2 = 0{,}126\ \text{m}^2$$La espira está en el plano $XY$, luego su normal va según el eje $OZ$. Tomamos la normal en el sentido negativo de $OZ$, el mismo que el campo, de modo que $\cos\theta = 1$:$$\Phi(t) = B(t)\,S = (3t^2 - 2t)\cdot 0{,}126$$$$\Phi(t) = 0{,}377\,t^{2} - 0{,}251\,t\ \ \text{Wb}$$b) ii) Fuerza electromotriz inducida:$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -(0{,}754\,t - 0{,}251) = 0{,}251 - 0{,}754\,t\ \ \text{V}$$En $t = 2\,\text{s}$:$$\varepsilon(2) = 0{,}251 - 1{,}508 = -1{,}26\ \text{V} \qquad |\varepsilon| = 1{,}26\ \text{V}$$b) iii) En $t = 2\,\text{s}$ el campo vale $B(2) = 3\cdot 4 - 2\cdot 2 = 8\ \text{T}$, dirigido según $-OZ$, es decir, entrante en el plano $XY$ visto desde el eje $Z$ positivo. Y su ritmo de cambio es$$\frac{dB}{dt} = 6t - 2 = 10\ \text{T}\,\text{s}^{-1} > 0$$luego el flujo entrante está aumentando. Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a ese aumento creando dentro de la espira un campo saliente, lo que por la regla de la mano derecha corresponde a una corriente que circula en sentido antihorario vista desde el eje $Z$ positivo.

En la simulación el eje $n$ de la espira apunta como el campo, según $-Z$, y el sentido se da visto desde su punta: en $t = 2\,\text{s}$ sale horario visto desde $-Z$, que es antihorario visto desde $+Z$, como arriba.