Campo y potencial eléctrico

a) La energía potencial del par de cargas es$$E_p = \frac{K\,Q\,q}{r}$$Con $q > 0$ y $Q < 0$, el producto $Qq$ es negativo, luego $E_p < 0$ siempre.

i) Se aleja de $Q$ siguiendo una línea de campo. $E_p$ aumenta. Al crecer $r$, el cociente $|KQq|/r$ disminuye, así que $E_p$ (negativa) se hace menos negativa, acercándose a cero: aumenta.

Es coherente con la física: las cargas de signo opuesto se atraen, de modo que separarlas exige realizar trabajo desde fuera, y ese trabajo se almacena como energía potencial.

ii) Se mueve en círculo en torno a $Q$. $E_p$ no varía. La energía potencial depende solo de la distancia $r$, y en una trayectoria circular centrada en $Q$ la distancia es constante:$$E_p = \frac{K Q q}{r} = \text{constante} \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_p = 0$$La carga se mueve sobre una superficie equipotencial (para una carga puntual son esferas concéntricas), y el trabajo del campo es nulo.

b) i) Distancias desde las cargas hasta $C(0,3)$:$$r_{AC} = r_{BC} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} = 3{,}61\ \text{m} \qquad r^2 = 13\ \text{m}^2$$Módulo del campo creado por cada una:$$E_A = E_B = \frac{K\,q}{r^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{13} = 1{,}38\cdot 10^{3}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Al ser ambas positivas, los campos se alejan de cada carga:$$\hat{u}_{AC} = \frac{(2,3)}{3{,}61} = (0{,}555;\ 0{,}832) \qquad \hat{u}_{BC} = \frac{(-2,3)}{3{,}61} = (-0{,}555;\ 0{,}832)$$Las componentes horizontales son opuestas y se cancelan; las verticales se suman:$$\vec{E}_C = 2\cdot 1{,}38\cdot 10^{3}\cdot 0{,}832\ \vec{j}$$$$\vec{E}_C = 2{,}30\cdot 10^{3}\ \vec{j}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Vertical hacia arriba, alejándose del par de cargas, como exige la simetría.

b) ii) Potenciales (escalares). En $C(0,3)$, ambas a $\sqrt{13}$:$$V_C = 2\,\frac{K\,q}{r_{AC}} = 2\cdot\frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{3{,}61} = 9{,}98\cdot 10^{3}\ \text{V}$$En el origen $O(0,0)$, ambas a $2\,\text{m}$:$$V_O = 2\cdot\frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{2} = 1{,}80\cdot 10^{4}\ \text{V}$$El trabajo que realiza el campo al trasladar $q' = -3\cdot 10^{-6}\,\text{C}$ de $C$ a $O$ es$$W_{C\to O} = q'\,(V_C - V_O) = (-3\cdot 10^{-6})\,(9{,}98\cdot 10^{3} - 1{,}80\cdot 10^{4})$$$$W_{C\to O} = (-3\cdot 10^{-6})\cdot(-8{,}02\cdot 10^{3}) = 2{,}40\cdot 10^{-2}\ \text{J}$$Positivo: la carga que se traslada es negativa y las fijas son positivas, así que se atraen. Acercarse al origen (donde están más cerca) es un movimiento espontáneo y lo impulsa el propio campo.