Inducción electromagnética

a) i) El flujo magnético a través de una superficie plana en un campo uniforme es$$\Phi = \vec{B}\cdot\vec{S} = B\,S\cos\theta$$donde $\theta$ es el ángulo entre el campo y el vector superficie (perpendicular al plano de la espira).

Al girar la espira alrededor de un diámetro con velocidad angular constante $\omega$, el vector superficie gira con ella, de modo que el ángulo aumenta uniformemente:$$\theta(t) = \omega\,t + \theta_0$$Tomando $\theta_0 = 0$ (es decir, empezando a contar cuando el flujo es máximo), y siendo $S = \pi r^2$ el área de la espira:$$\Phi(t) = B\,S\cos(\omega t)$$El campo es constante y el área no cambia: lo único que varía es la orientación. El flujo oscila entre $+BS$ (espira perpendicular al campo) y $-BS$ (perpendicular en el sentido opuesto), pasando por cero cuando el plano de la espira contiene al campo.

a) ii) Aplicando la ley de Faraday-Lenz:$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}\bigl[B\,S\cos(\omega t)\bigr]$$$$\varepsilon(t) = B\,S\,\omega\,\text{sen}(\omega t)$$La fuerza electromotriz inducida es alterna: varía sinusoidalmente con la misma frecuencia angular $\omega$ del giro y con amplitud$$\varepsilon_0 = B\,S\,\omega$$Conviene notar el desfase de $90^\circ$ entre flujo y f.e.m.: cuando el flujo es máximo (espira perpendicular al campo), su derivada es nula y la f.e.m. también; y cuando el flujo pasa por cero, su variación es máxima y la f.e.m. alcanza su valor máximo.

Éste es el fundamento del alternador y, por tanto, de toda la generación de corriente alterna: basta hacer girar una bobina en un campo magnético.

b) i) El área de la espira es constante:$$S = l^2 = (0{,}05)^2 = 2{,}5\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$$Ahora la espira está quieta y perpendicular al campo ($\cos\theta = 1$); lo que varía es el módulo del campo. Al reducirse "de manera uniforme" de $20$ a $10\,\text{T}$ en $3\,\text{s}$, $B(t)$ es una recta:$$B(t) = 20 - \frac{20 - 10}{3}\,t = 20 - \frac{10}{3}\,t\ \ \text{(T)}$$(Comprobación: $B(0) = 20\,\text{T}$ y $B(3) = 20 - 10 = 10\,\text{T}$ ✓.)

El flujo es, por tanto:$$\Phi(t) = B(t)\,S = \left(20 - \frac{10}{3}\,t\right)\cdot 2{,}5\cdot 10^{-3}$$$$\Phi(t) = 5\cdot 10^{-2} - 8{,}33\cdot 10^{-3}\,t\ \ \text{Wb}$$(De $\Phi(0) = 0{,}05\,\text{Wb}$ a $\Phi(3) = 0{,}025\,\text{Wb}$.)

b) ii) Derivando y cambiando el signo:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -(-8{,}33\cdot 10^{-3})$$$$\varepsilon = +8{,}33\cdot 10^{-3}\ \text{V} = 8{,}33\ \text{mV}$$La f.e.m. es constante durante los $3\,\text{s}$, precisamente porque la variación del campo es uniforme (lineal en el tiempo). Su signo positivo refleja la ley de Lenz: como el flujo está disminuyendo, la corriente inducida circula en el sentido que crea un campo a favor del aplicado, tratando de mantener el flujo.

Nótese el contraste entre los dos apartados: en a) el flujo varía por el giro (campo constante) y la f.e.m. es alterna; en b) varía por el campo (espira quieta) y la f.e.m. es continua. Son los dos mecanismos posibles de inducción.