Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) i) Sí es posible. La fuerza sobre un conductor rectilíneo en un campo magnético uniforme es$$\vec{F} = I\,\vec{L}\times\vec{B} \qquad\Longrightarrow\qquad |\vec{F}| = I\,L\,B\,\text{sen}\,\theta$$donde $\theta$ es el ángulo entre el conductor y el campo. La fuerza es nula cuando $\text{sen}\,\theta = 0$, es decir, cuando$$\theta = 0^\circ \quad\text{o}\quad \theta = 180^\circ$$Basta con que el conductor sea paralelo (o antiparalelo) al campo: el producto vectorial de dos vectores con la misma dirección es nulo, y el campo no ejerce ninguna fuerza sobre él por intensa que sea la corriente.

Esquema: el conductor dibujado a lo largo de las líneas de campo, sin fuerza resultante.

a) ii) El módulo es máximo cuando el seno vale $1$:$$\theta = 90^\circ \qquad\Longrightarrow\qquad F_{\text{máx}} = I\,L\,B$$es decir, cuando el conductor es perpendicular al campo. La fuerza resultante es entonces perpendicular tanto al conductor como al campo, con el sentido que da la regla de la mano derecha.

Esquema: el conductor perpendicular a las líneas de campo, con la fuerza saliendo perpendicularmente al plano que ambos forman.

b) i) Con $\vec{v} = 10^{5}\,\vec{i}$ y $\vec{B} = -1\,\vec{k}$, calculamos primero el producto vectorial:$$\vec{v}\times\vec{B} = 10^{5}\cdot(-1)\,(\vec{i}\times\vec{k}) = 10^{5}\cdot(-1)\cdot(-\vec{j}) = 10^{5}\ \vec{j}$$Y ahora la fuerza, teniendo en cuenta que la carga del electrón es $q = -e$:$$\vec{F}_B = q\,\vec{v}\times\vec{B} = -1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{5}\ \vec{j}$$$$\vec{F}_B = -1{,}6\cdot 10^{-14}\ \vec{j}\ \ \text{N}$$Es decir, una fuerza de módulo $1{,}6\cdot 10^{-14}\,\text{N}$ dirigida según el eje $OY$ negativo.

Esquema: el electrón moviéndose hacia la derecha ($+X$), el campo magnético entrante en el papel ($-Z$, representado con cruces) y la fuerza magnética apuntando hacia abajo ($-Y$).

b) ii) Para que el electrón siga una trayectoria rectilínea, la fuerza total debe anularse, así que la fuerza eléctrica ha de compensar exactamente a la magnética:$$\vec{F}_E = -\vec{F}_B = +1{,}6\cdot 10^{-14}\ \vec{j}\ \ \text{N}$$Y como $\vec{F}_E = q\,\vec{E} = -e\,\vec{E}$:$$-1{,}6\cdot 10^{-19}\,\vec{E} = 1{,}6\cdot 10^{-14}\,\vec{j}$$$$\vec{E} = -10^{5}\ \vec{j}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$El campo eléctrico debe tener módulo $10^{5}\,\text{N}\,\text{C}^{-1}$ y estar dirigido según el eje $OY$ negativo.

Comprobación por módulos: la condición de no desviarse es $E = v\,B = 10^{5}\cdot 1 = 10^{5}\,\text{N}\,\text{C}^{-1}$ ✓.

Nótese que el campo eléctrico apunta en el mismo sentido que la fuerza magnética que debe cancelar. No es una casualidad: al ser la carga negativa, la fuerza eléctrica va en sentido opuesto al campo, así que para obtener una fuerza hacia $+Y$ hace falta un campo hacia $-Y$.

En la simulación ($X$ hacia la derecha, $Y$ hacia arriba y $\vec B$ entrante) el electrón pasa recto; desmarca «Campo eléctrico encendido» para ver cómo lo curva la fuerza magnética hacia $-Y$.