Inducción electromagnética

a) i) La fuerza de Lorentz es $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$. Con la misma $\vec{v}$ y el mismo $\vec{B}$, el producto $\vec{v}\times\vec{B}$ es idéntico para ambas, así que la fuerza solo puede tener sentidos opuestos si las cargas tienen signos opuestos. Como las trayectorias se curvan en sentidos contrarios, una partícula es positiva y la otra negativa.

ii) El radio de la trayectoria circular sale de igualar la fuerza magnética a la centrípeta:$$|q| v B = \frac{m v^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m v}{|q| B}$$Como $v$, $B$ y $|q|$ son iguales para ambas, $R \propto m$:$$\frac{m_2}{m_1} = \frac{R_2}{R_1} = 2$$La segunda partícula tiene el doble de masa que la primera.

b1) Datos: $L = 0{,}30\,\text{m}$, $R = 1\,\Omega$, $v = 10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$, $B = 0{,}05\,\text{T}$.

i) Mientras entra. Solo una parte de la espira está dentro del campo, y el área encerrada crece a razón de $dS/dt = L\,v$:$$|\varepsilon| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B\,L\,v = 0{,}05\cdot 0{,}30\cdot 10 = 0{,}15\ \text{V}$$$$I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{0{,}15}{1} = 0{,}15\ \text{A}$$Esquema: el campo externo es saliente ($+\vec{k}$) y el flujo saliente aumenta; por Lenz, el campo inducido dentro de la espira es entrante y la corriente inducida circula en sentido horario (vista desde $+Z$). En el dibujo (eje $X$ hacia la derecha, $Y$ hacia arriba, $\vec{B}$ con puntos $\odot$ en la región del campo), el lado derecho de la espira, que es el que ya está dentro del campo, lleva la corriente hacia abajo ($-\vec{j}$), y dentro de la espira se dibuja el campo inducido con aspas $\otimes$. Se comprueba con la fuerza sobre las cargas de ese lado: $q\,\vec{v}\times\vec{B} \propto \vec{i}\times\vec{k} = -\vec{j}$.

ii) Mientras se mueve dentro del campo. La espira está completamente sumergida: el área dentro del campo ya no cambia y el campo es uniforme, luego$$\Phi = B\,L^2 = \text{constante} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = 0 \quad\text{y}\quad I = 0$$No hay corriente inducida ni campo inducido, aunque haya movimiento y aunque haya campo: en el esquema solo aparece $\vec{B}$ ($\odot$) atravesando toda la espira. (Visto con la fuerza de Lorentz: las f.e.m. $B L v$ de los dos lados verticales, ambos dentro del campo, son iguales y se oponen en el circuito, así que se anulan.)

b2) i) Fuerza sobre el electrón:$$F = m_e\,a = 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 10^{12} = 9{,}1\cdot 10^{-19}\ \text{N}$$y va en el sentido $+\vec{i}$ (el de la aceleración). Como $\vec{F} = q\vec{E}$ con $q = -e$:$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} = \frac{9{,}1\cdot 10^{-19}}{-1{,}6\cdot 10^{-19}}\ \vec{i}$$$$\vec{E} = -5{,}7\ \vec{i}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$El campo apunta en sentido negativo del eje $OX$, opuesto a la aceleración, porque la carga es negativa.

ii) Por consideraciones energéticas, el trabajo de la fuerza eléctrica se invierte íntegramente en energía cinética (parte del reposo):$$E_c = W = F\,d = 9{,}1\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}5 = 4{,}55\cdot 10^{-19}\ \text{J}$$$$v = \sqrt{\frac{2E_c}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}55\cdot 10^{-19}}{9{,}1\cdot 10^{-31}}} = 1{,}0\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(Se comprueba con cinemática: $v = \sqrt{2ad} = \sqrt{2\cdot 10^{12}\cdot 0{,}5} = 10^{6}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$.)