Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) i) Calculamos primero la fuerza magnética sobre el electrón. Con $\vec{v} = v\,\vec{i}$ y $\vec{B} = -B\,\vec{k}$:$$\vec{v}\times\vec{B} = v\,(-B)\,(\vec{i}\times\vec{k}) = v\,(-B)\,(-\vec{j}) = v\,B\,\vec{j}$$Como la carga del electrón es $q = -e$:$$\vec{F}_B = q\,\vec{v}\times\vec{B} = -e\,v\,B\ \vec{j}$$es decir, la fuerza magnética apunta según $-Y$.

Para que el electrón no se desvíe, la fuerza total debe anularse, así que la fuerza eléctrica ha de apuntar según $+Y$ con el mismo módulo:$$\vec{F}_E = -\vec{F}_B = +e\,v\,B\ \vec{j}$$Y como $\vec{F}_E = q\,\vec{E} = -e\,\vec{E}$:$$-e\,\vec{E} = +e\,v\,B\,\vec{j} \quad\Longrightarrow\quad \vec{E} = -v\,B\ \vec{j}$$El campo eléctrico debe tener la dirección del eje $OY$ y sentido negativo ($-Y$).

Merece la pena subrayarlo: el campo eléctrico apunta en sentido opuesto a la fuerza que ejerce sobre el electrón, precisamente porque la carga es negativa. En el esquema: $\vec{v}$ hacia $+X$, $\vec{B}$ entrante en el papel, $\vec{F}_B$ hacia $-Y$, $\vec{E}$ hacia $-Y$ y $\vec{F}_E$ hacia $+Y$.

a) ii) Igualando los módulos de ambas fuerzas:$$e\,E = e\,v\,B \quad\Longrightarrow\quad E = v\,B$$Ésta es la condición del selector de velocidades: solo las partículas cuya velocidad cumpla $v = E/B$ atraviesan la región sin desviarse, con independencia de su carga y de su masa.

b) i) El protón gira en sentido antihorario en el plano $XY$. Tomemos el instante en que se mueve según $+X$: para que la trayectoria se curve en sentido antihorario, el centro de la circunferencia debe estar por encima, así que la fuerza centrípeta apunta según $+Y$.

Como el protón tiene carga positiva, $\vec{F} = e\,\vec{v}\times\vec{B}$, y necesitamos que ese producto dé $+\vec{j}$ partiendo de $\vec{v} = v\,\vec{i}$. Probando:$$\vec{i}\times(-\vec{k}) = +\vec{j}$$Luego el campo debe ir según $-\vec{k}$:$$\vec{B} = -0{,}05\ \vec{k}\ \ \text{T}$$es decir, perpendicular al plano $XY$ y entrante en el papel.

Esquema: circunferencia recorrida en sentido antihorario, el vector velocidad tangente, la fuerza magnética siempre apuntando al centro y el campo representado con cruces (entrante).

b) ii) El periodo se obtiene igualando la fuerza magnética a la centrípeta:$$e\,v\,B = \frac{m_p\,v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m_p\,v}{e\,B}$$y, como $T = 2\pi r/v$:$$T = \frac{2\pi\,m_p}{e\,B} = \frac{2\pi\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}05} = \frac{1{,}068\cdot 10^{-26}}{8\cdot 10^{-21}}$$$$T = 1{,}34\cdot 10^{-6}\ \text{s}$$Nótese que la velocidad se ha cancelado: el periodo depende solo de la masa, la carga y el campo. Una partícula más rápida describe un círculo mayor, pero tarda exactamente lo mismo en recorrerlo.

Radio:$$r = \frac{m_p\,v}{e\,B} = \frac{1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 3\cdot 10^{5}}{8\cdot 10^{-21}} = \frac{5{,}1\cdot 10^{-22}}{8\cdot 10^{-21}}$$$$r = 6{,}38\cdot 10^{-2}\ \text{m} = 6{,}38\ \text{cm}$$