FísicaDifícilProblema · 2,5 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Andalucía · 2022 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

a) Una partícula cargada se lanza con cierta velocidad en una región donde hay un campo magnético uniforme. En primer lugar, se lanza paralelamente al campo magnético y en segundo lugar perpendicularmente al mismo. Explique en cada caso si: i) cambia su energía cinética y ii) la partícula está acelerada.

b) Un protón que parte del reposo es acelerado, en sentido positivo del eje

OX

, mediante una diferencia de potencial de

850\,\text{V}

antes de entrar en un campo magnético uniforme, perpendicular a la velocidad, donde describe una trayectoria circular en sentido antihorario en el plano

XY

0{,}02\,\text{m}

de radio. Apoyándose en esquemas, calcule: i) el módulo del campo magnético y ii) el campo eléctrico (vector) que debería aplicarse para que la trayectoria del protón sea rectilínea.

Datos:

m_p = 1{,}7\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

;

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

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Resultado

\boxed{\;\text{Paralelo: } E_c \text{ constante y sin aceleración (MRU)}\;}

\boxed{\;\text{Perpendicular: } E_c \text{ constante pero SÍ acelerada (centrípeta)}\;}

\boxed{\;v = 4{,}0\cdot 10^{5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\quad \vec{B} = -0{,}213\,\vec{k}\ \text{T}\quad \vec{E} = -8{,}5\cdot 10^{4}\,\vec{j}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) separa dos conceptos que suelen confundirse: energía cinética constante no significa sin aceleración. En el caso perpendicular el módulo de la velocidad no cambia, pero su dirección sí, y eso ya es aceleración (centrípeta).

En b) hay que deducir el sentido del campo magnético a partir del sentido de giro (antihorario), y para el apartado ii) montar un selector de velocidades.

Desarrollo

a) Lanzada paralelamente al campo. La fuerza de Lorentz es

\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} = \vec{0}

porque el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo.

i) La energía cinética no cambia, ya que no hay ninguna fuerza que realice trabajo.
ii) La partícula no está acelerada: al ser nula la fuerza total, describe un movimiento rectilíneo y uniforme.

Lanzada perpendicularmente al campo. Ahora la fuerza tiene módulo máximo,

F = q\,v\,B

, y es siempre perpendicular a la velocidad.

i) La energía cinética tampoco cambia. Al ser $\vec{F} \perp \vec{v}$ , el trabajo es nulo en todo instante:

W = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_c = 0

El módulo de la velocidad permanece constante.

ii) La partícula sí está acelerada. Hay una fuerza neta no nula, luego hay aceleración: se trata de la aceleración centrípeta, que cambia continuamente la dirección de la velocidad sin alterar su módulo. El movimiento es circular uniforme.

La conclusión que conviene subrayar: energía cinética constante no implica ausencia de aceleración.

b) i) Velocidad tras la aceleración eléctrica (parte del reposo):

e\,\Delta V = \tfrac{1}{2}m_p v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 850}{1{,}7\cdot 10^{-27}}}

v = \sqrt{1{,}6\cdot 10^{11}} = 4{,}0\cdot 10^{5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Del radio de la trayectoria circular,

R = m_p v/(e\,B)

B = \frac{m_p\,v}{e\,R} = \frac{1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 4{,}0\cdot 10^{5}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}02} = \frac{6{,}8\cdot 10^{-22}}{3{,}2\cdot 10^{-21}}

B = 0{,}213\ \text{T}

Sentido del campo. El protón entra según

+\vec{i}

y gira en sentido antihorario en el plano

XY

, así que el centro de la circunferencia está por encima de él: la fuerza inicial apunta según

+\vec{j}

. Como

\vec{F} = e\,\vec{v}\times\vec{B} \qquad\text{y}\qquad \vec{i}\times(-\vec{k}) = +\vec{j}

el campo debe estar dirigido según

-\vec{k}

, es decir, entrante en el plano $XY$ :

\vec{B} = -0{,}213\ \vec{k}\ \ \text{T}

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b) ii) Para que la trayectoria sea rectilínea, la fuerza total debe anularse (selector de velocidades):

e\,\vec{E} + e\,\vec{v}\times\vec{B} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{E} = -\,\vec{v}\times\vec{B}

Sustituyendo

\vec{v} = 4{,}0\cdot 10^{5}\,\vec{i}

\vec{B} = -0{,}213\,\vec{k}

\vec{v}\times\vec{B} = 4{,}0\cdot 10^{5}\cdot(-0{,}213)\,(\vec{i}\times\vec{k}) = -8{,}5\cdot 10^{4}\,(-\vec{j}) = 8{,}5\cdot 10^{4}\ \vec{j}

\vec{E} = -8{,}5\cdot 10^{4}\ \vec{j}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}

Comprobación: la fuerza eléctrica sería

e\vec{E} = -1{,}36\cdot 10^{-14}\,\vec{j}\ \text{N}

y la magnética

+1{,}36\cdot 10^{-14}\,\vec{j}\ \text{N}

: se cancelan exactamente. ✓

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Consejo

En el caso perpendicular la respuesta es sí y no a la vez: la energía cinética no cambia pero la partícula sí está acelerada. Es exactamente lo que la pregunta quiere distinguir.

Y en b) el sentido de giro (antihorario) es el dato que fija el sentido de $\vec{B}$ . Escribe el producto vectorial para justificarlo; decir solo "perpendicular al plano" deja la respuesta a medias.