Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) i) La fuerza magnética sobre la partícula es$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} \qquad\text{de módulo}\qquad F = q\,v\,B$$al ser $\vec{v} \perp \vec{B}$. Esta fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, así que no modifica su módulo (no realiza trabajo) y actúa como fuerza centrípeta: la trayectoria es una circunferencia. Igualando:$$q\,v\,B = \frac{m\,v^2}{R}$$$$\boxed{R = \frac{m\,v}{q\,B}}$$a) ii) Si se duplican a la vez la carga y la velocidad ($q' = 2q$, $v' = 2v$):$$R' = \frac{m\,(2v)}{(2q)\,B} = \frac{2}{2}\cdot\frac{m\,v}{q\,B} = R$$El radio no varía: los dos factores $2$ se cancelan, porque la velocidad aparece en el numerador y la carga en el denominador.

b) i) Para que el protón atraviese la región sin ser desviado, la fuerza total debe ser nula:$$\vec{F} = q\,\vec{E} + q\,\vec{v}\times\vec{B} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{E} = -\,\vec{v}\times\vec{B}$$Esto exige que la fuerza magnética sea opuesta a la eléctrica. Como $\vec{E}$ va según $+\vec{k}$ y la carga es positiva, la fuerza eléctrica empuja al protón hacia $+\vec{k}$; la magnética debe empujarlo hacia $-\vec{k}$.

Además, $\vec{v}$ debe ser perpendicular a ambos campos para que el producto vectorial tenga la dirección adecuada. Siendo $\vec{B}$ paralelo a $\vec{i}$ y $\vec{E}$ a $\vec{k}$, la velocidad debe ir según el eje $OY$.

Comprobamos el sentido: si $\vec{v} = v\,\vec{j}$, entonces$$\vec{v}\times\vec{B} = v\,\vec{j}\times 2\cdot 10^{-3}\,\vec{i} = 2\cdot 10^{-3}\,v\,(\vec{j}\times\vec{i}) = -2\cdot 10^{-3}\,v\ \vec{k}$$que efectivamente apunta hacia $-\vec{k}$, opuesta a la eléctrica. El sentido correcto es, por tanto, el positivo del eje $OY$.

En el diagrama: $\vec{B}$ hacia $+X$, $\vec{E}$ hacia $+Z$, la velocidad hacia $+Y$, la fuerza eléctrica hacia $+Z$ y la magnética hacia $-Z$, iguales en módulo.

b) ii) Igualando los módulos de ambas fuerzas:$$q\,E = q\,v\,B \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{E}{B} = \frac{1000}{2\cdot 10^{-3}}$$$$v = 5\cdot 10^{5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$\vec{v} = 5\cdot 10^{5}\ \vec{j}\ \ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Obsérvese que la condición $v = E/B$ no depende de la carga ni de la masa: solo las partículas con esa velocidad concreta atraviesan la región sin desviarse, sea cual sea su naturaleza. Es el fundamento del selector de velocidades.

La simulación dibuja el plano $YZ$ visto desde el semieje $+X$: $Y$ hacia la derecha, $Z$ hacia arriba y $\vec B$ saliendo de la pantalla.