Campo magnético creado por corrientes

a) i) Al entrar perpendicularmente al campo, la fuerza de Lorentz tiene módulo $F = q\,v\,B$ y es siempre perpendicular a la velocidad, así que actúa como fuerza centrípeta:$$q\,v\,B = \frac{m\,v^2}{R}$$$$\boxed{R = \frac{m\,v}{q\,B}}$$a) ii) El periodo se obtiene de $v = 2\pi R/T$, y al sustituir $R$ la velocidad se cancela:$$T = \frac{2\pi\,m}{q\,B} \qquad\Longrightarrow\qquad f = \frac{1}{T} = \frac{q\,B}{2\pi\,m}$$La frecuencia depende solo del cociente $q/m$ (y del campo). Con $m_1 = 10\,m_2$ y $q_1 = 2\,q_2$:$$\frac{f_1}{f_2} = \frac{q_1/m_1}{q_2/m_2} = \frac{2q_2}{10\,m_2}\cdot\frac{m_2}{q_2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$$$f_2 = 5\,f_1$$La segunda partícula gira cinco veces más deprisa: aunque tiene la mitad de carga, es diez veces más ligera, y ese factor domina.

b) i) Campo creado por el conductor en el punto $P(0{,}05;\,0;\,0)$. La corriente va según $+\vec{k}$ y el punto está en $+\vec{i}$ respecto al hilo, a $d = 0{,}05\,\text{m}$:$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2{,}5}{2\pi\cdot 0{,}05} = 1\cdot 10^{-5}\ \text{T}$$La dirección la da la regla de la mano derecha, $\hat{u}_I\times\hat{u}_r = \vec{k}\times\vec{i} = \vec{j}$:$$\vec{B} = 1\cdot 10^{-5}\,\vec{j}\ \ \text{T}$$Fuerza sobre la carga, con $\vec{v} = 5\cdot 10^{6}\,\vec{i}$:$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} = 3\cdot 10^{-6}\,(5\cdot 10^{6}\,\vec{i})\times(1\cdot 10^{-5}\,\vec{j})$$Como $\vec{i}\times\vec{j} = \vec{k}$:$$\vec{F} = 3\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 10^{6}\cdot 1\cdot 10^{-5}\ \vec{k}$$$$\vec{F} = 1{,}5\cdot 10^{-4}\ \vec{k}\ \ \text{N}$$En el esquema: el hilo sobre el eje $Z$, el campo en $P$ apuntando según $+Y$, la velocidad según $+X$ y la fuerza resultante según $+Z$, paralela al hilo.

b) ii) Para que la carga no sufra fuerza con $\vec{v} \neq 0$, el campo magnético total en su posición debe anularse. El segundo conductor debe crear en $P$ un campo$$\vec{B}_2 = -1\cdot 10^{-5}\,\vec{j}\ \text{T}$$Está en $x = 0{,}15\,\text{m}$, así que dista $0{,}15 - 0{,}05 = 0{,}10\,\text{m}$ del punto, y el vector que va del hilo al punto es $-\vec{i}$.

Sentido. Si la corriente circula también según $+\vec{k}$:$$\hat{u}_I\times\hat{u}_r = \vec{k}\times(-\vec{i}) = -\vec{j}\quad\checkmark$$Es justo el sentido que necesitamos, luego la corriente debe ir en el mismo sentido que la del primer hilo, es decir, hacia el $OZ$ positivo.

Intensidad:$$\frac{\mu_0\,I_2}{2\pi\cdot 0{,}10} = 1\cdot 10^{-5} \quad\Longrightarrow\quad I_2 = \frac{1\cdot 10^{-5}\cdot 0{,}10}{2\cdot 10^{-7}}$$$$I_2 = 5\ \text{A}$$Tiene sentido: está al doble de distancia que el primer hilo, así que necesita el doble de intensidad para crear allí el mismo campo.