Inducción electromagnética

a) Por la ley de Faraday, $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$ con $\Phi = \vec B\cdot\vec S = BS\cos\alpha$, donde $\alpha$ es el ángulo entre $\vec B$ y el vector superficie $\vec S$ (perpendicular al plano de la espira). Como $B$ y $S$ son constantes, solo puede haber f.e.m. si $\alpha$ cambia al girar. El eje de giro es un diámetro, así que está contenido en el plano de la espira y $\vec S$ es siempre perpendicular al eje.

a.i) $\vec B$ paralelo al eje de rotación. En el esquema, el eje (vertical, por ejemplo) y $\vec B$ tienen la misma dirección, y la espira gira alrededor de él. Como $\vec S$ es perpendicular al eje, también es perpendicular a $\vec B$ en todo instante: $\alpha = 90^\circ$ siempre y$$\Phi = BS\cos90^\circ = 0\quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = 0$$Las líneas de campo son siempre paralelas al plano de la espira y ninguna la atraviesa: no se induce f.e.m.

a.ii) $\vec B$ perpendicular al eje de rotación. Ahora $\vec S$ gira en un plano que contiene a $\vec B$, y el ángulo entre ambos cambia uniformemente, $\alpha = \omega t$ (tomando $\alpha = 0$ en $t=0$):$$\Phi(t) = BS\cos(\omega t)\quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = BS\omega\,\text{sen}(\omega t)$$Sí se induce una f.e.m. alterna (sinusoidal), de valor máximo $BS\omega$: es el fundamento del alternador. Al representar $\Phi(t)$ y $\varepsilon(t)$ frente al tiempo se obtienen una cosenoide y una senoide desfasadas un cuarto de periodo: la f.e.m. es máxima cuando el flujo pasa por cero (plano de la espira paralelo a $\vec B$) y nula cuando el flujo es máximo.

b) Superficie de cada espira:$$S = \pi(0{,}05)^2 = 7{,}85\cdot10^{-3}\,\text{m}^2$$i) El campo es perpendicular al plano de la bobina ($\alpha = 0$). Flujo por espira:$$\Phi_1(t) = BS = 7{,}85\cdot10^{-3}(0{,}02t + 0{,}8t^2)\ \text{Wb}$$y a través de las $N = 20$ espiras de la bobina:$$\Phi(t) = NBS = 0{,}157\,(0{,}02t + 0{,}8t^2) = 3{,}14\cdot10^{-3}\,t + 0{,}126\,t^2\ \ \text{Wb}$$ii) F.e.m. inducida:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -NS\frac{dB}{dt},\qquad \frac{dB}{dt} = 0{,}02 + 1{,}6t$$En $t=5\,\text{s}$: $\dfrac{dB}{dt} = 8{,}02\,\text{T s}^{-1}$ y$$\varepsilon = -20\cdot7{,}85\cdot10^{-3}\cdot8{,}02 = -1{,}26\ \text{V}$$El signo negativo indica (ley de Lenz) que la corriente inducida circula en el sentido que crea un campo opuesto al aplicado, oponiéndose al aumento del flujo.