FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo magnético creado por corrientes

También trata: Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Andalucía · 2024 · Julio · Opción B

Enunciado

a) Un electrón que se mueve en línea recta penetra en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí. Explique la relación que debe existir entre los campos y la velocidad para que la partícula continúe en trayectoria rectilínea.

b) Por dos conductores rectilíneos muy largos, paralelos y separados por una distancia de

2\,\text{m}

circulan corrientes eléctricas de

1

3\,\text{A}

. Determine, apoyándose en un esquema, a qué distancia del primer hilo se anula el campo magnético en los siguientes casos: i) las dos corrientes van en el mismo sentido; ii) las corrientes van en sentidos opuestos.

Dato:

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}

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Resultado

\boxed{\;\vec{v}\perp\vec{E},\ \vec{v}\perp\vec{B},\ \text{fuerzas opuestas y } v = \dfrac{E}{B}\;}

\boxed{\;\text{i) } x = 0{,}5\ \text{m (entre los hilos)}\qquad \text{ii) } x = 1\ \text{m (fuera, del lado del hilo de } 1\ \text{A)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es el selector de velocidades: para que la trayectoria siga siendo recta la fuerza total debe ser nula, y eso obliga a que la fuerza eléctrica y la magnética se cancelen. De ahí sale la condición

v = E/B

, que además solo se cumple para una velocidad concreta: por eso el dispositivo "selecciona".

En b) lo decisivo es dónde puede anularse el campo, y eso lo fija el sentido de las corrientes: con corrientes paralelas los campos se oponen entre los hilos, y con corrientes antiparalelas se oponen fuera, del lado de la corriente menor. Razonar la zona antes de plantear la ecuación evita la solución falsa.

Desarrollo

a) Sobre el electrón actúan la fuerza eléctrica y la magnética:

\vec{F} = q\vec{E} + q\,\vec{v}\times\vec{B}

Para que la trayectoria siga siendo rectilínea y uniforme, la fuerza resultante debe ser nula:

q\vec{E} + q\,\vec{v}\times\vec{B} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{E} = -\,\vec{v}\times\vec{B}

Esto exige tres cosas:

La velocidad debe ser perpendicular a ambos campos, de modo que $\vec{v}$ , $\vec{E}$ y $\vec{B}$ formen un triedro: $\vec{v}\times\vec{B}$ es siempre perpendicular a $\vec{v}$ , así que solo puede ser antiparalelo a $\vec{E}$ si $\vec{v}\perp\vec{E}$ (y es el caso del selector, con $\vec{v}\perp\vec{B}$ ).
Las dos fuerzas deben tener sentidos opuestos: $\vec{E}$ debe apuntar en el sentido de $\vec{B}\times\vec{v}$ . Como la carga aparece en los dos términos, esta condición es la misma para el electrón que para una carga positiva.
Sus módulos deben ser iguales: $|q|E = |q|\,v\,B$ , es decir,

\boxed{v = \frac{E}{B}}

Obsérvese que la condición no depende de la carga ni de la masa: solo las partículas que entren con esa velocidad concreta seguirán recto, y las demás se desviarán. Es el fundamento del selector de velocidades del espectrómetro de masas.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) El campo creado por un hilo recto muy largo a una distancia

d

vale

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}

y sus líneas son circunferencias que rodean el hilo, con el sentido de la regla de la mano derecha.

i) Corrientes en el mismo sentido. En el esquema, entre los dos hilos los campos apuntan en sentidos opuestos (uno sale del papel y el otro entra), de modo que ahí pueden cancelarse. Fuera de los hilos ambos apuntan en el mismo sentido y se suman.

Si

x

es la distancia al primer hilo, la distancia al segundo es

2 - x

\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (2-x)} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x} = \frac{3}{2-x}

2 - x = 3x \quad\Longrightarrow\quad x = 0{,}5\ \text{m}

El campo se anula a

0{,}5\,\text{m}

del primer hilo, entre los dos y más cerca del de menor intensidad.

ii) Corrientes en sentidos opuestos. Ahora ocurre lo contrario: entre los hilos los campos se suman y nunca se cancelan; hay que buscar fuera, y necesariamente del lado del hilo de menor corriente (

I_1 = 1\,\text{A}

), porque solo allí la mayor cercanía compensa la menor intensidad.

Si

x

es la distancia al primer hilo por el lado opuesto al segundo, la distancia al segundo es

x + 2

\frac{1}{x} = \frac{3}{x+2} \quad\Longrightarrow\quad x + 2 = 3x \quad\Longrightarrow\quad x = 1\ \text{m}

El campo se anula a

1\,\text{m}

del primer hilo, en el lado exterior, a

3\,\text{m}

del segundo.

Consejo

Antes de plantear la ecuación, razona en qué zona puede anularse el campo y dibújalo. Si te lanzas a resolver sin pensarlo, la ecuación te dará también la raíz de la zona imposible y no sabrás cuál descartar.

El punto de campo nulo siempre queda más cerca del hilo de menor corriente: úsalo como comprobación rápida de que el resultado tiene sentido.

Paso 1 de 3

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