Campo y potencial eléctrico

a) i) Negativo. La única fuerza que actúa es la eléctrica, así que por el teorema de las fuerzas vivas$$W_{\text{campo}} = \Delta E_c = 0 - \tfrac{1}{2}m v^2 < 0$$Es negativo. Se ve también por geometría: la carga es negativa, así que la fuerza $\vec{F} = q\vec{E}$ es opuesta al campo; y como la carga se mueve en el sentido del campo, fuerza y desplazamiento son opuestos y el trabajo sale negativo. Por eso frena.

a) ii)

• Energía cinética: pasa de $\frac{1}{2}mv^2$ a cero, luego $\Delta E_c < 0$: negativa.
• Energía potencial: la fuerza eléctrica es conservativa, así que $\Delta E_p = -W_{\text{campo}} > 0$: positiva. La carga "sube" en energía potencial mientras frena.
• Energía mecánica: al ser la única fuerza conservativa, se conserva:

$$\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = W_{\text{campo}} - W_{\text{campo}} = 0$$es nula.

b) i) Distancias desde las cargas hasta $C(1,0)$:$$r_{AC} = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2} = 1\ \text{m} \qquad r_{BC} = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2} = 1\ \text{m}$$Módulos (con $1\,\text{mC} = 10^{-3}\,\text{C}$):$$E_A = \frac{K\,|q_A|}{r_{AC}^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-3}}{1} = 1{,}8\cdot 10^{7}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$$$E_B = \frac{K\,|q_B|}{r_{BC}^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 3\cdot 10^{-3}}{1} = 2{,}7\cdot 10^{7}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Direcciones: $q_A$ es positiva, luego su campo en $C$ se aleja de $A$, es decir, según $+\vec{i}$. La carga $q_B$ es negativa, luego su campo apunta hacia $B$, o sea, de $C(1,0)$ hacia $B(1,1)$: según $+\vec{j}$.

En el esquema, desde $C$ salen dos vectores perpendiculares: uno horizontal hacia la derecha y otro, más largo, vertical hacia arriba.$$\vec{E}_C = 1{,}8\cdot 10^{7}\,\vec{i} + 2{,}7\cdot 10^{7}\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$$$|\vec{E}_C| = \sqrt{(1{,}8)^2 + (2{,}7)^2}\cdot 10^{7} = 3{,}25\cdot 10^{7}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$formando $56{,}3^\circ$ con el eje $X$.

b) ii) Potenciales. En $C(1,0)$, ambas cargas están a $1\,\text{m}$:$$V_C = K\left(\frac{q_A}{1} + \frac{q_B}{1}\right) = 9\cdot 10^{9}\,(2\cdot 10^{-3} - 3\cdot 10^{-3}) = -9\cdot 10^{6}\ \text{V}$$En $D(0,1)$: la distancia a $A(0,0)$ es $1\,\text{m}$ y la distancia a $B(1,1)$ también es $1\,\text{m}$. Exactamente las mismas distancias, luego$$V_D = -9\cdot 10^{6}\ \text{V} = V_C$$El trabajo que hay que realizar es el incremento de energía potencial:$$W_{\text{ext}} = q\,(V_D - V_C) = 10^{-3}\cdot 0$$$$W_{\text{ext}} = 0\ \text{J}$$Los puntos $C$ y $D$ están sobre la misma superficie equipotencial, así que no cuesta nada llevar la carga de uno a otro.