Campo magnético creado por corrientes

a) i) No realiza trabajo. La fuerza magnética es$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$$y, por la propia definición del producto vectorial, es siempre perpendicular a la velocidad. Como el desplazamiento tiene en cada instante la dirección de la velocidad:$$dW = \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0 \quad\text{en todo instante} \quad\Longrightarrow\quad W = 0$$Y por el teorema de las fuerzas vivas, $\Delta E_c = W = 0$: la energía cinética del protón no cambia y su rapidez permanece constante durante todo el recorrido.

a) ii) Sí experimenta aceleración. La fuerza magnética no es nula —al ser $\vec{v} \perp \vec{B}$, tiene su valor máximo $F = qvB$—, y por la segunda ley de Newton, donde hay fuerza neta hay aceleración:$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} \neq \vec{0}$$Se trata de una aceleración centrípeta, perpendicular a la velocidad, que cambia continuamente la dirección del movimiento sin alterar su módulo. El protón describe una trayectoria circular uniforme, de radio $r = mv/(qB)$.

La conclusión que conviene subrayar, porque es el objeto de la pregunta: trabajo nulo y velocidad constante en módulo no implican ausencia de aceleración. Lo que se conserva es la rapidez, no el vector velocidad.

b) i) El campo creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $d$ es$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d} \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{2\pi\,d\,B}{\mu_0}$$Conviene usar la simplificación $\mu_0/(2\pi) = 2\cdot 10^{-7}$:$$I_1 = \frac{B\,d}{2\cdot 10^{-7}} = \frac{3\cdot 10^{-5}\cdot 0{,}04}{2\cdot 10^{-7}} = \frac{1{,}2\cdot 10^{-6}}{2\cdot 10^{-7}}$$$$I_1 = 6\ \text{A}$$b) ii) La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos separados una distancia $d$ es$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d} = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot I_1\,I_2}{d}$$Despejando $I_2$, con $F/L = 10^{-4}\,\text{N}\,\text{m}^{-1}$, $I_1 = 6\,\text{A}$ y $d = 0{,}04\,\text{m}$:$$I_2 = \frac{(F/L)\,d}{2\cdot 10^{-7}\,I_1} = \frac{10^{-4}\cdot 0{,}04}{2\cdot 10^{-7}\cdot 6} = \frac{4\cdot 10^{-6}}{1{,}2\cdot 10^{-6}}$$$$I_2 = 3{,}33\ \text{A}$$Sentido de la corriente. La fuerza debe ser atractiva, y la regla es que dos conductores paralelos se atraen cuando sus corrientes tienen el mismo sentido (y se repelen cuando son opuestas).

Por tanto, la corriente del segundo alambre debe circular en el mismo sentido que la del primero.

Se puede justificar con el producto vectorial: el campo creado por el primer hilo en la posición del segundo es perpendicular al plano que los contiene; aplicando $\vec{F} = I_2\,\vec{L}\times\vec{B}$ con $\vec{L}$ paralelo a $\vec{I}_1$, la fuerza resultante apunta hacia el primer conductor. Si se invirtiese $I_2$, la fuerza cambiaría de sentido y sería repulsiva.