Campo y potencial eléctrico

a) i) El electrón entra con velocidad $\vec{v}_0$ perpendicular al campo. Sobre él actúa una fuerza constante:$$\vec{F} = q\,\vec{E} = -e\,\vec{E}$$que, por ser la carga negativa, apunta en sentido opuesto al campo. Al ser constante, la aceleración también lo es:$$\vec{a} = \frac{-e\,\vec{E}}{m_e} = \text{constante}$$Tenemos, por tanto, un movimiento con:

• velocidad constante en la dirección inicial (perpendicular al campo), donde no hay fuerza: MRU;
• movimiento uniformemente acelerado en la dirección del campo.

La composición de ambos es una parábola, exactamente igual que en el tiro horizontal de la mecánica, con la fuerza eléctrica desempeñando el papel del peso. Tomando el eje $X$ en la dirección de lanzamiento y el $Y$ en la de la aceleración:$$x = v_0\,t \qquad y = \tfrac{1}{2}a\,t^2 \qquad\Longrightarrow\qquad y = \frac{a}{2\,v_0^2}\,x^2$$Dibujo: líneas de campo paralelas y equiespaciadas; el electrón entrando perpendicularmente a ellas y curvándose progresivamente hacia el lado opuesto al que apunta el campo (por ser negativo).

a) ii) La fuerza tiene una componente a favor del desplazamiento (la que curva la trayectoria), luego realiza trabajo positivo:

• La energía cinética aumenta: el electrón se acelera. Su velocidad crece porque a la componente inicial constante se le va sumando una componente perpendicular cada vez mayor.
• La energía potencial disminuye, exactamente en la misma cantidad:

$$\Delta E_c = W = -\Delta E_p \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_p = -\Delta E_c < 0$$La energía mecánica se conserva, porque la fuerza eléctrica es conservativa y no hay ninguna otra. Es el mismo balance que en un proyectil que cae: lo que pierde de potencial lo gana de cinética.

b) i) Calculamos por separado la contribución de cada carga en el punto $P(2,2)$.

Campo de $q_1$ (en el origen). El vector de $q_1$ a $P$ es $(2,2)$, de módulo $r_1 = \sqrt{8} = 2{,}828\,\text{m}$, y $r_1^2 = 8\,\text{m}^2$:$$|\vec{E}_1| = \frac{K\,q_1}{r_1^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-6}}{8} = 4500\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Al ser $q_1$ positiva, el campo se aleja de ella, en la dirección del unitario $(1,1)/\sqrt{2}$:$$\vec{E}_1 = 4500\,(0{,}7071;\ 0{,}7071) = (3182;\ 3182)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Campo de $q_2$ (en $(2,0)$). El vector de $q_2$ a $P$ es $(0,2)$, de módulo $r_2 = 2\,\text{m}$:$$|\vec{E}_2| = \frac{K\,q_2}{r_2^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{4} = 4500\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Este campo es puramente vertical, hacia arriba:$$\vec{E}_2 = (0;\ 4500)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$(Curiosamente, ambos módulos coinciden: $q_1$ es el doble de grande pero está al doble de distancia al cuadrado.)

Campo total:$$\vec{E} = (3182;\ 3182 + 4500) = (3182;\ 7682)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$$$|\vec{E}| = \sqrt{3182^2 + 7682^2} = \sqrt{6{,}914\cdot 10^{7}} = 8{,}31\cdot 10^{3}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Formando con el eje $+X$ un ángulo de$$\alpha = \arctan\frac{7682}{3182} = 67{,}5^\circ$$b) ii) La fuerza sobre $q_3$ se obtiene multiplicando el campo por la carga, que además es positiva, así que la fuerza tiene la misma dirección y sentido:$$\vec{F} = q_3\,\vec{E} = 3\cdot 10^{-8}\cdot(3182;\ 7682)$$$$\vec{F} = (9{,}55\cdot 10^{-5}\,\vec{i} + 2{,}30\cdot 10^{-4}\,\vec{j})\ \ \text{N}$$$$|\vec{F}| = q_3\,|\vec{E}| = 3\cdot 10^{-8}\cdot 8{,}31\cdot 10^{3} = 2{,}49\cdot 10^{-4}\ \text{N}$$