Campo y potencial eléctrico

a) i) Falsa. Es justo al revés: las cargas deben tener signos opuestos.

El potencial en un punto es la suma escalar$$V = K\left(\frac{Q}{r_1} + \frac{q}{r_2}\right)$$Para que se anule hace falta que los dos sumandos se cancelen, y eso exige que sean de signos contrarios:$$\frac{Q}{r_1} = -\frac{q}{r_2}$$Si ambas cargas tuvieran el mismo signo, los dos términos serían del mismo signo y su suma nunca podría dar cero a distancia finita.

a) ii) Falsa. El campo no puede ser nulo en ese punto. Por el apartado anterior, las cargas son de signos opuestos. Sean $r_1$ y $r_2$ las distancias de $P$ a $Q$ y a $q$. Las dos condiciones serían:$$V_P = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{|Q|}{r_1} = \frac{|q|}{r_2} \qquad\qquad E_P = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{|Q|}{r_1^2} = \frac{|q|}{r_2^2}$$(la segunda, además, solo es posible donde los dos campos tienen sentidos opuestos). Dividiendo la primera igualdad entre la segunda se obtiene $r_1 = r_2$, y entonces la primera exige $|Q| = |q|$: $P$ sería el punto medio de dos cargas iguales y opuestas. Pero entre dos cargas de signos opuestos los dos campos apuntan en el mismo sentido (uno se aleja de la positiva y el otro se dirige hacia la negativa), así que en el punto medio se suman:$$E_P = 2\,\frac{K\,|q|}{(d/2)^2} = \frac{8\,K\,|q|}{d^2} \neq 0$$Luego es imposible que en $P$ se anulen a la vez el potencial y el campo.

Esquema: las dos cargas, $+$ y $-$, sobre una recta. Los puntos de potencial nulo están más cerca de la carga de menor valor absoluto (uno entre ellas y, si $|Q| \neq |q|$, otro fuera del segmento, al otro lado de la carga menor); en el de entre las cargas, las dos flechas del campo apuntan hacia la negativa y se suman. El punto de campo nulo, si existe, está fuera del segmento, más allá de la carga menor, pero más lejos que el de potencial nulo: nunca coinciden.

Es un buen recordatorio de que campo y potencial son magnitudes independientes: una vectorial y otra escalar, y sus ceros no tienen por qué coincidir.

b) Las dos cargas son positivas, así que sus campos solo pueden tener sentidos opuestos en la región comprendida entre ellas. Fuera del segmento ambos apuntan en el mismo sentido y su suma nunca se anula.

Sea $x$ la distancia desde la carga de $5\cdot 10^{-6}\,\text{C}$ (en el origen); la distancia a la otra es $2 - x$. Igualamos los módulos:$$\frac{K\cdot 5\cdot 10^{-6}}{x^2} = \frac{K\cdot 3\cdot 10^{-6}}{(2-x)^2}$$Simplificando $K$ y $10^{-6}$:$$\frac{5}{x^2} = \frac{3}{(2-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{(2-x)^2}{x^2} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$Tomando la raíz positiva (el punto está entre las cargas, luego $2 - x > 0$):$$\frac{2-x}{x} = \sqrt{0{,}6} = 0{,}7746$$$$2 - x = 0{,}7746\,x \quad\Longrightarrow\quad 2 = 1{,}7746\,x$$$$x = 1{,}13\ \text{m}$$El punto buscado es $(1{,}13;\ 0)\,\text{m}$: está a $1{,}13\,\text{m}$ de la carga de $5\,\mu\text{C}$ y a $0{,}87\,\text{m}$ de la de $3\,\mu\text{C}$.

Comprobación: $5/1{,}13^2 = 3{,}92$ y $3/0{,}87^2 = 3{,}96$ ✓ (la pequeña diferencia es de redondeo).

Esquema: las dos cargas positivas sobre el eje $X$; en el punto marcado, dos flechas de igual longitud apuntando en sentidos opuestos (una hacia la derecha, alejándose de la carga del origen, y otra hacia la izquierda, alejándose de la otra), que se cancelan.

Obsérvese que el punto está más cerca de la carga menor, como debe ser: su campo es más débil y necesita "acercarse" para compensar al de la carga mayor. Y nótese que en ese punto el potencial no es cero, sino positivo, coherentemente con lo razonado en el apartado a).