Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) La fuerza que actúa sobre cada partícula es la de Lorentz:$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$$Al entrar perpendicularmente al campo, su módulo es $F = |q|\,v\,B$ y es siempre perpendicular a la velocidad, es decir, actúa como fuerza centrípeta. El radio de la trayectoria circular resultante es$$R = \frac{m\,v}{|q|\,B}$$

• Protón ($q = +e$): describe una circunferencia de radio $R_p = m_p v/(eB)$.
• Electrón ($q = -e$): también una circunferencia, pero recorrida en sentido contrario, porque su carga tiene signo opuesto. Además su radio es mucho menor, ya que $m_e \approx m_p/1836$:

$$\frac{R_e}{R_p} = \frac{m_e}{m_p} \approx \frac{1}{1836}$$

• Neutrón ($q = 0$): la fuerza magnética es nula, así que no se desvía y sigue una trayectoria rectilínea y uniforme.

En el esquema, con el campo entrante en el papel y las tres partículas entrando hacia la derecha ($\vec{v} = v\,\vec{i}$, $\vec{B} = -B\,\vec{k}$): para el protón, $\vec{F} = e\,v B\,(\vec{i}\times(-\vec{k})) = +e v B\,\vec{j}$, así que se curva hacia arriba (giro antihorario) describiendo un arco amplio; el electrón, con fuerza $-e v B\,\vec{j}$, se curva hacia abajo (giro horario) con un radio minúsculo, y el neutrón atraviesa la región en línea recta.

b) i) En la etapa de aceleración, todo el trabajo eléctrico se convierte en energía cinética (parte del reposo):$$e\,\Delta V = \tfrac{1}{2}m_p v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}5\cdot 10^{4}}{1{,}7\cdot 10^{-27}}}$$$$v = \sqrt{2{,}82\cdot 10^{12}} = 1{,}68\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Radio de curvatura en el campo magnético:$$R = \frac{m_p\,v}{e\,B} = \frac{1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}68\cdot 10^{6}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 12} = \frac{2{,}86\cdot 10^{-21}}{1{,}92\cdot 10^{-18}}$$$$R = 1{,}49\cdot 10^{-3}\ \text{m} \approx 1{,}5\ \text{mm}$$b) ii) El periodo se obtiene de $v = 2\pi R/T$, y al sustituir $R = m_p v/(eB)$ la velocidad se cancela:$$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi\,m_p}{e\,B} = \frac{2\pi\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 12}$$$$T = 5{,}56\cdot 10^{-9}\ \text{s}$$Obsérvese que el periodo no depende de la velocidad ni del radio: solo de la relación $m/q$ y del campo. Es el principio en el que se basa el ciclotrón.