Campo y potencial eléctrico

a) i) Para una carga puntual negativa:

• Las líneas de campo son rectas radiales dirigidas hacia la carga (el campo apunta siempre hacia las cargas negativas). Se dibujan entrando en la carga desde todas las direcciones del espacio, más juntas cerca de ella —donde el campo es intenso— y más separadas lejos.

• Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas centradas en la carga, ya que el potencial

$$V = \frac{K\,q}{r}$$depende solo de la distancia $r$. En el esquema se representan como circunferencias concéntricas.

Ambas familias son perpendiculares entre sí en todos los puntos: las líneas de campo cortan las equipotenciales en ángulo recto, lo que garantiza que el trabajo sobre una equipotencial sea nulo.

a) ii) Las dos magnitudes decrecen con la distancia, pero a distinto ritmo:

• Campo eléctrico: inversamente proporcional al cuadrado de la distancia,

$$E = \frac{K\,|q|}{r^2}$$Al duplicar $r$, el campo se reduce a la cuarta parte.

• Potencial eléctrico: inversamente proporcional a la distancia,

$$V = \frac{K\,q}{r} < 0$$Al duplicar $r$, se reduce a la mitad en valor absoluto. Al ser la carga negativa, el potencial es negativo y crece hacia cero conforme nos alejamos.

b) i) Distancias desde $C(2,1)$ a cada carga:$$r_{AC} = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2} = 1{,}414\ \text{m}$$$$r_{BC} = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2} = 1{,}414\ \text{m}$$Son iguales porque $C$ está en la mediatriz del segmento $AB$. Módulo del campo creado por cada una:$$E_A = E_B = \frac{K\,|q|}{r^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{2} = 9{,}0\cdot 10^{3}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Al ser las cargas negativas, cada campo apunta desde $C$ hacia su carga:$$\hat{u}_{CA} = \frac{(1,0)-(2,1)}{\sqrt{2}} = \frac{(-1,-1)}{\sqrt{2}} = (-0{,}707;\ -0{,}707)$$$$\hat{u}_{CB} = \frac{(1,2)-(2,1)}{\sqrt{2}} = \frac{(-1,1)}{\sqrt{2}} = (-0{,}707;\ +0{,}707)$$Las componentes verticales son opuestas y se cancelan; las horizontales se suman:$$\vec{E}_C = 2\cdot 9{,}0\cdot 10^{3}\cdot(-0{,}707)\ \vec{i}$$$$\vec{E}_C = -1{,}27\cdot 10^{4}\ \vec{i}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Apunta en el sentido negativo del eje $X$, es decir, hacia el segmento que une las cargas, como corresponde a dos cargas negativas.

b) ii) El potencial es escalar y se suma con su signo:$$V_C = K\left(\frac{q}{r_{AC}} + \frac{q}{r_{BC}}\right) = 2\cdot\frac{9\cdot 10^{9}\cdot(-2\cdot 10^{-6})}{1{,}414}$$$$V_C = -2{,}55\cdot 10^{4}\ \text{V}$$Negativo, como debe ser: las dos cargas que lo crean son negativas.