Inducción electromagnética

a) i) El flujo magnético a través de una superficie mide la cantidad de líneas de campo que la atraviesan. Para un campo uniforme y una superficie plana:$$\Phi = \vec{B}\cdot\vec{S} = B\,S\cos\theta$$donde $\vec{S}$ es el vector superficie (módulo igual al área y dirección la de la normal) y $\theta$ el ángulo entre $\vec{B}$ y esa normal.

Su unidad en el S.I. es el weber (Wb), con $1\ \text{Wb} = 1\ \text{T}\cdot\text{m}^2$.

a) ii) Con $\vec{B} = B_o\,\vec{k}$, el flujo depende de la orientación de la espira a través de $\cos\theta$:

• Flujo máximo ($\Phi = B_o S$): cuando la normal a la espira es paralela a $\vec{B}$, es decir, $\theta = 0$. Eso ocurre con la espira contenida en el plano $XY$, perpendicular al campo. En el dibujo, las líneas de campo atraviesan la espira de lleno.
• Flujo nulo ($\Phi = 0$): cuando la normal es perpendicular a $\vec{B}$, es decir, $\theta = 90^\circ$. Eso ocurre con la espira en un plano que contenga al eje $Z$ (por ejemplo, el plano $XZ$ o el $YZ$). En el dibujo, las líneas de campo son paralelas al plano de la espira y "resbalan" sin atravesarla.

b) i) Superficie de la espira, con los lados en metros:$$S = 0{,}10\cdot 0{,}15 = 1{,}5\cdot 10^{-2}\ \text{m}^2$$La espira está en el plano $XY$, luego su normal va según $\vec{k}$, la misma dirección que el campo: $\cos\theta = 1$.$$\Phi(t) = B(t)\,S = 2t^{3}\cdot 1{,}5\cdot 10^{-2} = 0{,}03\,t^{3}\ \ \text{Wb}$$En $t = 2\,\text{s}$:$$\Phi(2) = 0{,}03\cdot 2^{3} = 0{,}03\cdot 8 = 0{,}24\ \text{Wb}$$b) ii) Fuerza electromotriz inducida:$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -0{,}03\cdot 3\,t^{2} = -0{,}09\,t^{2}\ \ \text{V}$$$$\varepsilon(2) = -0{,}09\cdot 4 = -0{,}36\ \text{V} \qquad |\varepsilon| = 0{,}36\ \text{V}$$b) iii) El campo va según $+\vec{k}$, es decir, saliente del plano $XY$ visto desde el eje $Z$ positivo, y su módulo $2t^3$ crece con el tiempo. Por tanto el flujo saliente aumenta.

Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a ese aumento creando en el interior de la espira un campo magnético entrante. Por la regla de la mano derecha, eso corresponde a una corriente que circula en sentido horario vista desde el eje $Z$ positivo.

En el esquema: la espira en el plano $XY$, las líneas de $\vec{B}$ saliendo del papel (puntos), y la corriente inducida recorriendo la espira en sentido horario.

La simulación da el sentido visto desde la punta del eje $n$ de la espira, que aquí apunta según $+Z$: sale horaria, como arriba.