Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) i) Al entrar perpendicularmente al campo, la fuerza magnética vale$$F = |q|\,v\,B$$y es perpendicular a $\vec{v}$ en todo instante. Una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad es exactamente una fuerza centrípeta: la trayectoria es una circunferencia. Igualando:$$|q|\,v\,B = \frac{m v^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v}{|q|\,B}$$Como electrón y protón tienen la misma velocidad y el mismo valor absoluto de carga, el radio solo depende de la masa:$$\frac{R_p}{R_e} = \frac{m_p}{m_e} \approx 1836$$El protón describe una circunferencia unas $1800$ veces mayor que la del electrón. Además, al tener cargas de signo opuesto, la fuerza $q\vec{v}\times\vec{B}$ apunta en sentidos contrarios para cada uno: giran en sentidos opuestos. En el esquema, con el campo entrante en el papel ($\vec{B} = -B\,\vec{k}$) y ambas partículas entrando hacia la derecha ($\vec{v} = v\,\vec{i}$): sobre el protón $\vec{F} = e\,\vec{v}\times\vec{B} = e\,v\,B\,\vec{j}$, hacia arriba, y describe una circunferencia grande en sentido antihorario; sobre el electrón la fuerza es hacia abajo y describe una circunferencia mucho más pequeña en sentido horario.

a) ii) No varían: son constantes. La fuerza magnética es perpendicular al desplazamiento en todo momento, luego$$W = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0$$y por el teorema de las fuerzas vivas $\Delta E_c = W = 0$. El campo magnético cambia la dirección de la velocidad, pero no su módulo: cada partícula conserva su energía cinética a lo largo de toda la trayectoria.

b) i) En la etapa de aceleración, el trabajo de la fuerza eléctrica se convierte íntegramente en energía cinética (el protón parte del reposo):$$e\,\Delta V = \tfrac{1}{2}m_p v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m_p}}$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{5}}{1{,}7\cdot 10^{-27}}} = \sqrt{1{,}88\cdot 10^{13}}$$$$v = 4{,}34\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(algo más del $1\,\%$ de la velocidad de la luz, así que el tratamiento clásico es válido).

b) ii) Ya dentro del campo magnético, la trayectoria es una circunferencia contenida en el plano perpendicular a $\vec{B}$, y su radio es$$R = \frac{m_p\,v}{e\,B} = \frac{1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 4{,}34\cdot 10^{6}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}15}$$$$R = \frac{7{,}38\cdot 10^{-21}}{2{,}4\cdot 10^{-20}} = 0{,}31\ \text{m}$$En el esquema: el protón entra perpendicular al campo y la fuerza de Lorentz, siempre dirigida hacia el centro, lo obliga a recorrer una circunferencia de unos $31\,\text{cm}$ de radio.