Inducción electromagnética

a) i) Sí varía. El campo magnético creado por un hilo rectilíneo indefinido tiene módulo$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}$$es decir, depende únicamente de la distancia $d$ al hilo. Con el hilo sobre el eje $OY$ y la corriente en el sentido $+Y$, el campo en la región donde está la espira (a su derecha, con $x > 0$) es entrante en el plano $XY$, según $-\vec{k}$.

Al acercarse la espira al hilo, la distancia $d$ disminuye y el campo que la atraviesa aumenta. Como el área de la espira no cambia, el flujo magnético crece en valor absoluto:$$\Phi = \int \vec{B}\cdot d\vec{S} \quad\text{aumenta} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} \neq 0$$(Sería distinto si la espira se moviese paralelamente al hilo: entonces la distancia no cambiaría, el flujo sería constante y no se induciría nada.)

a) ii) Sentido de la corriente inducida. Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a la variación que la produce. Como el flujo entrante está aumentando, la espira genera en su interior un campo saliente para contrarrestarlo.

Aplicando la regla de la mano derecha, un campo saliente en el interior de la espira corresponde a una corriente en sentido antihorario (vista desde el eje $+Z$, es decir, desde el lector).

(Si la espira estuviese a la izquierda del hilo, con $x < 0$, el campo del hilo allí sería saliente; al aumentar, la corriente inducida crearía un campo entrante y circularía en sentido horario. El razonamiento es el mismo.)

Esquema: el hilo vertical con la corriente hacia arriba; a su derecha, la espira cuadrada con el campo entrante representado por cruces, más densas cuanto más cerca del hilo; y dentro de la espira, una flecha circular en sentido antihorario.

Como consecuencia, la fuerza magnética resultante sobre la espira se opone a su acercamiento: hay que empujarla para acercarla, y ese trabajo es el origen de la energía eléctrica inducida.

b) i) El área de la espira es constante:$$S = l^2 = (0{,}05)^2 = 2{,}5\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$$Como el plano de la espira es perpendicular al campo, el vector superficie es paralelo a $\vec{B}$ y $\cos\theta = 1$. El flujo es simplemente el producto:$$\Phi(t) = B(t)\,S = (6\,t^2 + 1)\cdot 2{,}5\cdot 10^{-3}$$$$\Phi(t) = 1{,}5\cdot 10^{-2}\,t^2 + 2{,}5\cdot 10^{-3}\ \ \text{Wb}$$Esquema: la espira cuadrada vista de frente, con el campo perpendicular a su plano (representado por puntos o cruces) cuya intensidad crece con el tiempo.

b) ii) Derivamos el flujo respecto al tiempo y cambiamos el signo:$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -2\cdot 1{,}5\cdot 10^{-2}\,t = -3\cdot 10^{-2}\,t$$En $t = 10\,\text{s}$:$$\varepsilon(10) = -3\cdot 10^{-2}\cdot 10$$$$\varepsilon(10) = -0{,}3\ \text{V} \qquad\Longrightarrow\qquad |\varepsilon| = 0{,}3\ \text{V}$$Obsérvese que el término constante ($2{,}5\cdot 10^{-3}\,\text{Wb}$, procedente del $+1$ del campo) desaparece al derivar: solo la parte variable del campo induce fuerza electromotriz. Un campo constante, por intenso que sea, no induce nada.

El signo negativo es la ley de Lenz: como el flujo aumenta, la corriente inducida circula en el sentido que crea un campo opuesto al aplicado.