FísicaDifícilProblema · 2,5 pts

Inducción electromagnética

También trata: Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

a) Una carga negativa entra con velocidad

\vec v

en una zona con campo eléctrico

\vec E

perpendicular a

\vec v

. ¿Cuál debe ser la intensidad, dirección y sentido del campo magnético

\vec B

que habría que aplicar, superpuesto a

\vec E

, para que la carga siguiera una trayectoria rectilínea?

b) Un campo

B = 2\,\text{sen}(100\pi t + \pi)

(SI) forma

45^\circ

con el plano de una espira circular de

R = 12\,\text{cm}

. Calcule la f.e.m. inducida en

t = 2\,\text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;B = E/v,\ \ \vec B = \frac{\vec v\times\vec E}{v^2}\ (\perp\vec v,\ \perp\vec E)\quad;\quad \varepsilon(2\,\text{s}) = 20{,}1\ \text{V}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para que la carga no se desvíe, la fuerza magnética debe compensar la eléctrica:

qE = qvB\Rightarrow B = E/v

, con

\vec B

perpendicular a

\vec E

y a

\vec v

(sentido tal que

\vec F_B = -\vec F_E

). En b), el ángulo con la normal es

90^\circ-45^\circ=45^\circ

;

\Phi = BA\cos45^\circ

\varepsilon = -d\Phi/dt

Desarrollo

a) Sobre la carga actúa la fuerza de Lorentz total,

\vec F = q\vec E + q\,\vec v\times\vec B

. Para que siga en línea recta con velocidad constante, la fuerza total debe ser nula:

q\vec E + q\,\vec v\times\vec B = 0\ \Rightarrow\ \vec v\times\vec B = -\vec E

La carga

q

se simplifica: la condición es la misma para cargas positivas y negativas (con

q<0

las dos fuerzas invierten su sentido, pero se siguen compensando).

Dirección: $\vec B$ perpendicular a $\vec v$ y a $\vec E$ (así $\vec v\times\vec B$ tiene la dirección de $\vec E$ con módulo máximo).
Intensidad: igualando módulos, $|q|E = |q|vB$ , luego $B = \dfrac{E}{v}$ .
Sentido: el que hace $\vec v\times\vec B$ opuesto a $\vec E$ , es decir, $\vec B = \dfrac{\vec v\times\vec E}{v^2}$ . Por ejemplo, si $\vec v = v\,\vec i$ y $\vec E = E\,\vec j$ , entonces $\vec B = \dfrac{E}{v}\,\vec k$ . Con esos ejes, sobre la carga negativa la fuerza eléctrica, $q\vec E$ , apunta en $-\vec j$ y la magnética, $q\,\vec v\times\vec B = q\,vB\,(-\vec j)$ , en $+\vec j$ : se anulan.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Área:

A = \pi(0{,}12)^2 = 4{,}52\cdot10^{-2}\,\text{m}^2

. Flujo (normal a

45^\circ

\vec B

\Phi = B A\cos45^\circ = 2\,\text{sen}(100\pi t+\pi)\cdot4{,}52\cdot10^{-2}\cdot0{,}707

F.e.m.:

\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -(A\cos45^\circ)\cdot2\cdot100\pi\cos(100\pi t+\pi)

. En

t=2

\cos(201\pi) = -1

\varepsilon = -0{,}032\cdot200\pi\cdot(-1) = 20{,}1\ \text{V}

Consejo

Ojo con el ángulo: " $45^\circ$ con el plano" significa $45^\circ$ con la normal también (por ser complementarios en este caso), así que $\cos45^\circ$ . Deriva $B(t)$ para la f.e.m. y evalúa la fase en $t=2\,\text{s}$ .