Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) i) Al entrar perpendicularmente al campo, la fuerza magnética$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} \qquad\text{de módulo}\qquad F = q\,v\,B$$es siempre perpendicular a la velocidad. Una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a $\vec{v}$ actúa como fuerza centrípeta, así que la trayectoria es una circunferencia. Igualando:$$q\,v\,B = \frac{m\,v^2}{R}$$$$\boxed{R = \frac{m\,v}{q\,B}}$$a) ii) Despejando la velocidad, $v = \dfrac{R\,q\,B}{m}$. Con el mismo $R$, la misma $m$ y el mismo $B$, resulta $v \propto q$:$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{q_1}{q_2} = \frac{q}{3q} = \frac{1}{3} \qquad\Longrightarrow\qquad v_2 = 3\,v_1$$La partícula con triple carga debe moverse tres veces más rápido para describir el mismo radio: al tener más carga, el campo la curva más, y solo una mayor velocidad compensa ese efecto.

b) i) Campo creado por el hilo en $P$. El hilo está sobre el eje $OX$ con la corriente hacia $+\vec{i}$, y $P$ está a $d = 0{,}10\,\text{m}$ sobre el eje $OY$:$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 5}{2\pi\cdot 0{,}10} = 1\cdot 10^{-5}\ \text{T}$$La dirección la da la regla de la mano derecha: con el pulgar hacia $+\vec{i}$ y el punto situado en $+\vec{j}$, el campo apunta según$$\hat{u}_I \times \hat{u}_r = \vec{i}\times\vec{j} = \vec{k} \qquad\Longrightarrow\qquad \vec{B} = 1\cdot 10^{-5}\,\vec{k}\ \text{T}$$es decir, saliente del plano $XY$.

Fuerza sobre el protón, con $\vec{v} = 2\cdot 10^{6}\,\vec{i}$:$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,(2\cdot 10^{6}\,\vec{i})\times(1\cdot 10^{-5}\,\vec{k})$$Como $\vec{i}\times\vec{k} = -\vec{j}$:$$\vec{F} = -3{,}2\cdot 10^{-18}\,\vec{j}\ \text{N}$$En el esquema: el hilo sobre el eje $X$, la velocidad del protón hacia $+X$, el campo magnético saliente del papel en $P$ y la fuerza dirigida hacia $-Y$, es decir, atrayendo el protón hacia el hilo.

b) ii) Para que la velocidad permanezca constante (en módulo y dirección), la fuerza total sobre el protón debe ser nula:$$q\,\vec{E} + q\,\vec{v}\times\vec{B} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{E} = -\,\vec{v}\times\vec{B}$$$$\vec{E} = -\bigl(2\cdot 10^{6}\,\vec{i}\bigr)\times\bigl(1\cdot 10^{-5}\,\vec{k}\bigr) = -\,(20)\,(\vec{i}\times\vec{k}) = -20\,(-\vec{j})$$$$\vec{E} = 20\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Comprobación: la fuerza eléctrica sería $q\vec{E} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 20\,\vec{j} = 3{,}2\cdot 10^{-18}\,\vec{j}\ \text{N}$, que cancela exactamente la magnética. ✓

Es el principio del selector de velocidades: solo las partículas con $v = E/B$ atraviesan la región sin desviarse.

El campo del hilo no es uniforme, pero a lo largo de la trayectoria del protón (paralela al hilo, a $10\,\text{cm}$) vale siempre $10^{-5}\,\vec k\ \text{T}$, así que la simulación lo trata como uniforme: plano $XY$ con $\vec B$ saliendo de la pantalla.