Campo y potencial eléctrico

a) Las líneas de campo son líneas imaginarias que representan el campo eléctrico: en cada punto el vector $\vec E$ es tangente a la línea que pasa por él y tiene su sentido, y la densidad de líneas (número de líneas por unidad de superficie perpendicular) es proporcional al módulo del campo. Nacen en las cargas positivas (o en el infinito) y mueren en las negativas (o en el infinito).

Las superficies equipotenciales son los lugares geométricos de los puntos que tienen el mismo potencial eléctrico. Mover una carga sobre ellas no cuesta trabajo ($W = q\,\Delta V = 0$), y por eso son perpendiculares en cada punto a las líneas de campo: el campo apunta hacia potenciales decrecientes, $\vec E = -\nabla V$.

Dos líneas de campo no pueden cortarse. Si lo hicieran, en el punto de corte habría dos tangentes distintas, es decir, dos direcciones del campo en un mismo punto. Pero el campo eléctrico en un punto es único (es la suma vectorial de los campos de todas las cargas), así que tiene una sola dirección.

Carga puntual positiva. Las líneas de campo son rectas radiales que salen de la carga hacia el infinito (con flechas hacia fuera), más juntas cerca de la carga. Las equipotenciales son superficies esféricas concéntricas con la carga (circunferencias en el dibujo plano), de potencial $V = Kq/r$; si se dibujan con la misma diferencia de potencial entre ellas, están más juntas cerca de la carga.

b.i) En $A(4,0)$, las dos cargas están sobre el eje $X$:

• $q_1$ (positiva) está a $r_1 = 4\,\text{m}$; su campo se aleja de ella, sentido $+x$: $E_1 = \dfrac{K q_1}{r_1^2} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot8\cdot10^{-9}}{16} = 4{,}5\,\text{N/C}$.
• $q_2$ (negativa) está a $r_2 = 1\,\text{m}$, a la izquierda de $A$; su campo apunta hacia ella, sentido $-x$: $E_2 = \dfrac{K|q_2|}{r_2^2} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot10^{-9}}{1} = 9\,\text{N/C}$.

$$\vec E_A = (4{,}5 - 9)\,\vec i = -4{,}5\,\vec i\ \text{N/C}$$b.ii) El campo es conservativo, así que el trabajo solo depende de los potenciales inicial y final. En $B(0,4)$ las distancias son $4\,\text{m}$ a $q_1$ y $\sqrt{3^2+4^2} = 5\,\text{m}$ a $q_2$:$$V_A = \frac{Kq_1}{4}+\frac{Kq_2}{1} = 18 - 9 = 9\,\text{V}\qquad V_B = \frac{Kq_1}{4}+\frac{Kq_2}{5} = 18 - 1{,}8 = 16{,}2\,\text{V}$$Trabajo del campo, $W_{A\to B} = -\Delta E_p = q\,(V_A - V_B)$:$$W = q(V_A - V_B) = -2\cdot10^{-9}(9 - 16{,}2) = +1{,}44\cdot10^{-8}\ \text{J}$$Significado del signo. $W > 0$ significa que es el propio campo el que realiza el trabajo: el desplazamiento de $A$ a $B$ es espontáneo para esta carga negativa, que se mueve hacia potenciales mayores. Su energía potencial disminuye en $1{,}44\cdot10^{-8}\,\text{J}$ ($\Delta E_p = -W$); si partiera del reposo y no hubiera otras fuerzas, esa energía se transformaría en energía cinética. No hace falta ningún agente externo; si el trabajo hubiera salido negativo, habría que aportarlo desde fuera.