Inducción electromagnética

a) i) Falsa. Lo que induce corriente no es la existencia de flujo, sino su variación en el tiempo. La ley de Faraday-Lenz es explícita:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$$Si el flujo es grande pero constante, su derivada es nula y no se induce nada. El ejemplo más claro es una espira en reposo dentro de un campo magnético constante: puede estar atravesada por un flujo enorme y, sin embargo, no circula corriente alguna por ella.

a) ii) Verdadera, y el contraejemplo es preciso: basta con que el campo, aunque varíe con el tiempo, esté contenido en el plano de la espira, es decir, sea perpendicular al vector superficie. Entonces$$\Phi = B(t)\,S\cos 90^\circ = 0 \quad\text{en todo instante}$$$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 0$$El flujo es idénticamente nulo por más que $B$ cambie, y no se induce corriente. La conclusión general: lo que importa no es que el campo varíe, sino que varíe el flujo, que depende también de la orientación y del área.

b) i) El área de la espira es$$S = \pi\,r^2 = \pi\,(0{,}03)^2 = 2{,}827\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$$Como en $t = 0$ el campo es perpendicular al plano de la espira, está alineado con el vector superficie y el flujo es máximo. La función que empieza en su máximo es el coseno:$$\Phi(t) = B\,S\cos(\omega t) = 2\cdot 2{,}827\cdot 10^{-3}\cos(\pi t)$$$$\Phi(t) = 5{,}655\cdot 10^{-3}\cos(\pi t)\ \ \text{Wb}$$Derivando:$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = B\,S\,\omega\,\text{sen}(\omega t) = 5{,}655\cdot 10^{-3}\cdot\pi\cdot\text{sen}(\pi t)$$$$\varepsilon(t) = 1{,}777\cdot 10^{-2}\,\text{sen}(\pi t)\ \ \text{V}$$En $t = 0{,}5\,\text{s}$, el argumento vale $\pi\cdot 0{,}5 = \pi/2$ y el seno alcanza su valor máximo:$$\varepsilon(0{,}5) = 1{,}777\cdot 10^{-2}\cdot\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1{,}777\cdot 10^{-2}\cdot 1$$$$\varepsilon(0{,}5) = 1{,}78\cdot 10^{-2}\ \text{V}$$Es el valor máximo de la f.e.m., y tiene sentido: con $\omega = \pi\,\text{rad}\,\text{s}^{-1}$ el periodo es $T = 2\,\text{s}$, así que a los $0{,}5\,\text{s}$ ha transcurrido justo un cuarto de periodo. La espira ha girado $90^\circ$ y su plano contiene ahora al campo: el flujo pasa por cero, que es donde varía más deprisa.

b) ii) Aplicando la ley de Ohm:$$R = \frac{\varepsilon}{I} = \frac{1{,}777\cdot 10^{-2}}{3\cdot 10^{-3}}$$$$R = 5{,}92\ \Omega$$