Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) La fuerza magnética sobre una carga es la fuerza de Lorentz:$$\vec F = q\,\vec v\times\vec B,\qquad F = |q|\,vB\,\text{sen}\,\theta$$siendo $\theta$ el ángulo entre $\vec v$ y $\vec B$. Es nula cuando:

• la partícula está en reposo ($v = 0$): el campo magnético solo actúa sobre cargas en movimiento;
• la partícula se mueve en la misma dirección que el campo, en su sentido o en el contrario ($\theta = 0^\circ$ o $180^\circ$, $\text{sen}\,\theta = 0$).

(Obviamente, tampoco hay fuerza si la partícula no tiene carga.)

Sobre un conductor rectilíneo de longitud $L$ recorrido por una corriente $I$, la fuerza es la suma de las fuerzas sobre las cargas que se mueven por él:$$\vec F = I\,\vec L\times\vec B,\qquad F = I L B\,\text{sen}\,\alpha$$con $\vec L$ en el sentido de la corriente y $\alpha$ el ángulo entre el conductor y el campo. Es nula si no circula corriente o si el conductor es paralelo al campo ($\alpha = 0^\circ$ o $180^\circ$): entonces las cargas se mueven en la dirección de $\vec B$.

b) Esquema: tomamos $\vec v = 10^{6}\,\vec i$ (el protón avanza hacia la derecha, eje X) y $\vec E = 200\,\vec j$ (hacia arriba, eje Y). Sobre el protón actúa la fuerza eléctrica $\vec F_E = e\vec E$, hacia arriba ($+\vec j$). Para que no se desvíe, la fuerza magnética debe ser igual y opuesta, $\vec F_B = e\,\vec v\times\vec B$ hacia abajo ($-\vec j$). Como $\vec i\times\vec k = -\vec j$, el campo magnético debe apuntar en $+\vec k$ (saliendo del papel), perpendicular a $\vec v$ y a $\vec E$. En el dibujo: el protón avanza hacia la derecha, $\vec E$ vertical hacia arriba, $\vec F_E$ hacia arriba, $\vec F_B$ hacia abajo y $\vec B$ representado con puntos (⊙).

Equilibrio de fuerzas (eléctrica $=$ magnética, en módulo):$$qE = qvB\Rightarrow B = \frac{E}{v} = \frac{200}{10^{6}} = 2\cdot10^{-4}\ \text{T}$$$\vec B$ debe ser perpendicular a $\vec E$ y a $\vec v$, con el sentido que anula las dos fuerzas: con los ejes elegidos, $\vec B = 2\cdot10^{-4}\,\vec k\ \text{T}$ (en general, $\vec B = \vec v\times\vec E/v^2$).