Campo magnético creado por corrientes

a) i) $\vec{B} = B_o\,\vec{i}$ (paralelo a la velocidad). La fuerza magnética es$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} = q\,(v_o\vec{i})\times(B_o\vec{i}) = \vec{0}$$porque el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo ($\text{sen}\,0 = 0$).

Al no actuar ninguna fuerza, la carga sigue con movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje $X$. En el esquema, la trayectoria es una recta que coincide con las líneas de campo.

a) ii) $\vec{B} = B_o\,\vec{j}$ (perpendicular a la velocidad). Ahora$$\vec{F} = q\,(v_o\vec{i})\times(B_o\vec{j}) = q\,v_o B_o\,(\vec{i}\times\vec{j}) = q\,v_o B_o\,\vec{k}$$La fuerza tiene módulo constante $qv_oB_o$ y es siempre perpendicular a la velocidad, así que actúa como fuerza centrípeta: la trayectoria es una circunferencia contenida en el plano $XZ$ (el perpendicular a $\vec{B}$), de radio$$R = \frac{m\,v_o}{q\,B_o}$$En el esquema, la carga positiva entra hacia $+X$ y se desvía inicialmente hacia $+Z$, describiendo un círculo. El movimiento es circular uniforme: la fuerza magnética no realiza trabajo y el módulo de la velocidad no cambia.

b) i) El campo creado por un hilo recto a una distancia $d = 0{,}10\,\text{m}$ es$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d} \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{2\pi\,d\,B}{\mu_0} = \frac{2\pi\cdot 0{,}10\cdot 4\cdot 10^{-5}}{4\pi\cdot 10^{-7}}$$$$I = \frac{0{,}10\cdot 4\cdot 10^{-5}}{2\cdot 10^{-7}} = 20\ \text{A}$$Dirección del campo en $P$. La corriente va según $+\vec{i}$ y el punto $P$ está en $+\vec{j}$ respecto al hilo. Por la regla de la mano derecha:$$\hat{u}_I\times\hat{u}_r = \vec{i}\times\vec{j} = \vec{k} \qquad\Longrightarrow\qquad \vec{B} = 4\cdot 10^{-5}\,\vec{k}\ \text{T}$$es decir, saliente del plano $XY$.

b) ii) Fuerza sobre el electrón (carga $q = -e$) con $\vec{v} = 2\cdot 10^{7}\,\vec{i}$:$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} = (-1{,}6\cdot 10^{-19})\,(2\cdot 10^{7}\,\vec{i})\times(4\cdot 10^{-5}\,\vec{k})$$Como $\vec{i}\times\vec{k} = -\vec{j}$:$$\vec{v}\times\vec{B} = 2\cdot 10^{7}\cdot 4\cdot 10^{-5}\,(-\vec{j}) = -800\,\vec{j}$$$$\vec{F} = (-1{,}6\cdot 10^{-19})\cdot(-800\,\vec{j})$$$$\vec{F} = 1{,}28\cdot 10^{-16}\,\vec{j}\ \text{N}$$La fuerza apunta según $+\vec{j}$, es decir, alejando el electrón del hilo. (Un protón moviéndose igual sería atraído: el signo de la carga invierte el sentido.)