Campo magnético creado por corrientes

a) i) Un conductor rectilíneo indefinido crea un campo magnético cuyas líneas son circunferencias concéntricas contenidas en planos perpendiculares al hilo, con módulo$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}$$El sentido se obtiene con la regla de la mano derecha: si el pulgar apunta en el sentido de la corriente, los dedos al cerrarse indican el sentido de las líneas de campo.

Con los dos hilos verticales y las corrientes hacia arriba, y situándonos en la región entre ambos: el campo del hilo izquierdo es entrante en el papel y el del hilo derecho es saliente. Es decir, entre los conductores los dos campos tienen sentidos opuestos, mientras que en el exterior (a la izquierda del primero o a la derecha del segundo) tienen el mismo sentido.

a) ii) Cada conductor se encuentra inmerso en el campo creado por el otro, y sufre por ello una fuerza $\vec{F} = I\,\vec{L}\times\vec{B}$. Aplicando el producto vectorial (o directamente la regla de la mano derecha) se obtiene que, con corrientes del mismo sentido, la fuerza es atractiva: cada conductor es empujado hacia el otro.

Con el esquema anterior (hilos verticales, corrientes hacia arriba, eje $x$ hacia la derecha, eje $z$ saliendo del papel): en la posición del hilo izquierdo, el campo del hilo derecho es saliente ($+\vec{k}$), así que $\vec{F}_1 = I\,L\,\vec{j}\times B\,\vec{k} = I\,L\,B\,\vec{i}$, hacia la derecha, es decir, hacia el otro hilo. En el hilo derecho el campo del izquierdo es entrante ($-\vec{k}$) y $\vec{F}_2 = I\,L\,\vec{j}\times(-B\,\vec{k}) = -I\,L\,B\,\vec{i}$, hacia la izquierda. En el esquema se dibujan dos flechas horizontales, una sobre cada hilo, apuntando la una hacia la otra.

Las dos fuerzas tienen la dirección de la recta que une los hilos, sentidos opuestos y el mismo módulo por unidad de longitud (tercera ley de Newton):$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$$Regla práctica: corrientes paralelas se atraen, antiparalelas se repelen.

b) i) El punto medio está a $d = 0{,}03\,\text{m}$ de cada conductor:$$B_9 = \frac{\mu_0\cdot 9}{2\pi\cdot 0{,}03} = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 9}{0{,}03} = 6\cdot 10^{-5}\ \text{T}$$$$B_{15} = \frac{\mu_0\cdot 15}{2\pi\cdot 0{,}03} = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 15}{0{,}03} = 1\cdot 10^{-4}\ \text{T}$$Como en esa región los dos campos son opuestos, se restan:$$B = B_{15} - B_9 = 1\cdot 10^{-4} - 6\cdot 10^{-5}$$$$B = 4\cdot 10^{-5}\ \text{T}$$Dirección y sentido: perpendicular al plano que contiene ambos conductores, y en el sentido del campo creado por el conductor de $15\,\text{A}$, que es el de mayor intensidad y por tanto el que domina. En el esquema con los hilos verticales, corrientes hacia arriba y el de $15\,\text{A}$ a la derecha, el campo resultante en el punto medio es saliente del papel.

b) ii) Sea $x$ la distancia al conductor de $9\,\text{A}$; la distancia al otro es $0{,}06 - x$. El campo se anula donde los módulos coinciden:$$\frac{\mu_0\cdot 9}{2\pi\,x} = \frac{\mu_0\cdot 15}{2\pi\,(0{,}06 - x)}$$Se cancelan $\mu_0$ y $2\pi$:$$\frac{9}{x} = \frac{15}{0{,}06 - x} \quad\Longrightarrow\quad 9\,(0{,}06 - x) = 15\,x$$$$0{,}54 = 24\,x \quad\Longrightarrow\quad x = 0{,}0225\ \text{m} = 2{,}25\ \text{cm}$$El punto está a $2{,}25\,\text{cm}$ del conductor de $9\,\text{A}$ y a $3{,}75\,\text{cm}$ del de $15\,\text{A}$: más cerca del hilo de menor intensidad, que es justo lo esperable para que las dos contribuciones se compensen.

Conviene señalar por qué este punto existe: solo entre los conductores los campos son opuestos. Fuera de esa región ambos tienen el mismo sentido y su suma nunca puede anularse.