Física · 2.º de Bachillerato · Bloques 4 y 5

Vibraciones y ondas

Una perturbación que viaja sin transportar materia: eso es una onda. Primero aprenderás a describirla con una ecuación; después seguirás a la más importante de todas —la luz— cuando cambia de medio, se refracta y atraviesa una lente hasta formar una imagen.

102problemas de examen
5simulaciones
3apartados
2017–2025Andalucía
1

Ondas mecánicas y armónicas

33 problemas en el banco

La idea. En una onda, cada punto del medio solo vibra alrededor de su posición; lo que viaja es la perturbación — y con ella, la energía. Por eso una onda tiene doble periodicidad: se repite en el tiempo (cada periodo $T$) y en el espacio (cada longitud de onda $\lambda$).

Toda la descripción cabe en una sola función de dos variables.

$$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$$ Con el signo menos viaja hacia $+x$; con más, hacia $-x$. $\omega = 2\pi/T$ y $k = 2\pi/\lambda$.

El diccionario de magnitudes

MagnitudQué mideRelaciones
Amplitud $A$Máxima separación del equilibrioFija la energía ($E \propto A^2$)
Periodo $T$, frecuencia $f$Repetición en el tiempo$f = 1/T$, $\omega = 2\pi f$
Longitud de onda $\lambda$Repetición en el espacio$k = 2\pi/\lambda$
Velocidad de la onda $v$Cuánto avanza la perturbación$v = \lambda f = \lambda/T = \omega/k$

Transversales o longitudinales, mecánicas o electromagnéticas

Las ondas se clasifican con dos preguntas independientes. ¿Necesitan un medio? Las mecánicas sí: son la vibración de un medio material (una cuerda, el aire, el agua) y no se propagan en el vacío. Las electromagnéticas no: son un campo eléctrico y uno magnético que oscilan juntos y viajan también por el vacío, a $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$ (la luz: la seguirás en el apartado 2).

¿Hacia dónde vibra cada punto? En una onda transversal, perpendicularmente a la dirección de propagación (una cuerda, la luz); en una longitudinal, en la misma dirección, en compresiones y enrarecimientos (el sonido en el aire, un muelle al que se dan tirones). La misma ecuación $y(x,t)$ describe las dos: en la longitudinal, el desplazamiento de cada punto va a lo largo de la propia dirección de avance.

Solo las transversales se pueden polarizar. Si una cuestión teórica pregunta por qué la luz se polariza y el sonido en el aire no, la respuesta es ésta.
Hay dos velocidades y no se parecen en nada. La de la onda, $v = \lambda f$, es constante y depende del medio. La de un punto del medio es $v_y = \partial y/\partial t$, que oscila y vale como máximo $A\omega$. Cuando el enunciado dice «velocidad máxima de un punto de la cuerda», pide $A\omega$ — no $\lambda f$. Es el error estrella del apartado.

Cada punto es un oscilador: el movimiento armónico simple

Fija la posición $x$ en la ecuación de la onda y te queda lo que hace un punto del medio: un movimiento armónico simple (MAS), la oscilación de un cuerpo sometido a una fuerza recuperadora proporcional a su separación del equilibrio y de sentido contrario a ella. Para un oscilador suelto (un muelle, un péndulo), la elongación se suele llamar $x$ en vez de $y$:

$$x(t) = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0)$$ $x$ es la elongación (separación del equilibrio); $A$, la amplitud; $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$, la pulsación; $\omega t + \varphi_0$, la fase, en radianes.

Derivando una y dos veces respecto al tiempo salen la velocidad y la aceleración:

$$v = \frac{dx}{dt} = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0) = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2} \qquad\qquad a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x$$ $v_{\text{máx}} = A\omega$ en el centro ($x = 0$); $a_{\text{máx}} = A\omega^2$ en los extremos ($x = \pm A$), donde la velocidad es nula.

La relación $a = -\omega^2 x$ es la seña de identidad del MAS: la aceleración es proporcional a la elongación y apunta siempre hacia el equilibrio. Si un enunciado te da la aceleración en función de la posición, de ahí sale $\omega$ directamente.

La fase inicial, a partir de cómo empieza el movimiento

$\varphi_0$ se deduce de la posición $x_0$ y la velocidad $v_0$ en $t = 0$: $x_0 = A\,\text{sen}\,\varphi_0$ y $v_0 = A\omega\cos\varphi_0$. Con las dos juntas salen también la amplitud y la fase:

$$A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} \qquad\qquad \text{tg}\,\varphi_0 = \frac{\omega\,x_0}{v_0}$$ Casos rápidos: sale del equilibrio hacia $+x$ → $\varphi_0 = 0$; desde el extremo positivo → $\varphi_0 = \pi/2$; desde el negativo → $\varphi_0 = 3\pi/2$ (o $-\pi/2$).
El arcoseno da dos ángulos. Si en $t = 0$ el cuerpo está en $x_0 = A/2$ y se mueve hacia $-x$, $\text{sen}\,\varphi_0 = 1/2$ admite $\pi/6$ y $5\pi/6$; como $v_0 < 0$ exige $\cos\varphi_0 < 0$, la buena es $\varphi_0 = 5\pi/6$. Comprueba siempre el signo de la velocidad. (Si la solución oficial usa coseno en vez de seno, su fase inicial difiere de la tuya en $\pi/2$: las dos son correctas.)

Energía del oscilador, muelle y péndulo

La fuerza recuperadora del MAS es conservativa, así que la energía mecánica del oscilador se conserva. Con $k = m\omega^2$ (la constante recuperadora; no la confundas con el número de onda $k = 2\pi/\lambda$):

$$E_p = \tfrac12\,k x^2 \qquad E_c = \tfrac12\,m v^2 = \tfrac12\,k\,(A^2 - x^2) \qquad E = E_c + E_p = \tfrac12\,k A^2 = \tfrac12\,m\,\omega^2 A^2$$ La energía total es constante y proporcional a $A^2$: en el centro es toda cinética; en los extremos, toda potencial.

Dos consecuencias muy preguntadas: duplicar la amplitud cuadruplica la energía, y la cinética y la potencial valen lo mismo en $x = \pm A/\sqrt2$ (no en $A/2$: ahí la potencial es solo la cuarta parte del total).

El muelle: ley de Hooke

Un muelle deformado una distancia $x$ ejerce la fuerza $F = -kx$ (ley de Hooke; $k$, en $\text{N/m}$, es su constante elástica). Con la segunda ley de Newton, $ma = -kx$, es decir, $a = -(k/m)\,x$: un MAS con

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ El periodo depende de la masa y del muelle, no de la amplitud.

Si el muelle cuelga en vertical, la masa lo estira en reposo $\Delta l = mg/k$ (de ahí se saca $k$ en muchos problemas) y oscila alrededor de esa nueva posición de equilibrio con el mismo periodo: el peso solo desplaza el centro de la oscilación.

El péndulo simple

Una masa puntual colgada de un hilo de longitud $L$. Para oscilaciones pequeñas (en la práctica, por debajo de unos 10°, donde $\text{sen}\,\theta \approx \theta$), la componente del peso a lo largo de la trayectoria vale $-mg\,x/L$ y el movimiento es un MAS con

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ No depende de la masa ni de la amplitud: solo de la longitud y de la gravedad.
Es el método clásico para medir $g$ (despejando, $g = 4\pi^2 L/T^2$) y una pregunta recurrente: llevado a otro planeta, el péndulo cambia de periodo porque cambia $g$; el muelle, en cambio, oscila igual en cualquier sitio.

Desfase entre dos puntos o dos instantes

La fase de la onda es el argumento del seno, $\varphi = \omega t - kx + \varphi_0$. Comparar dos fases dice si dos vibraciones van «a la par»:

$$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 2\pi\,\frac{\Delta x}{\lambda}\ \ \text{(dos puntos, mismo instante)} \qquad\qquad \Delta\varphi = \omega\,\Delta t = 2\pi\,\frac{\Delta t}{T}\ \ \text{(un punto, dos instantes)}$$ En fase: $\Delta\varphi = 2n\pi$, o sea, $\Delta x = n\lambda$. En oposición: $\Delta\varphi = (2n+1)\pi$, o sea, $\Delta x = (2n+1)\,\lambda/2$.

En la onda del ejemplo de abajo ($k = \pi\ \text{rad/m}$), dos puntos separados $0{,}5\ \text{m}$ tienen un desfase $\Delta\varphi = \pi \cdot 0{,}5 = \pi/2\ \text{rad}$: están en cuadratura, y cuando uno pasa por el equilibrio el otro está en un extremo. La pregunta inversa —«distancia mínima entre dos puntos en oposición de fase»— se contesta al revés: $\lambda/2$.

El desfase va en radianes. Si lo das en grados, conviértelo, y no confundas «en fase» (separados $\lambda$) con «en oposición» (separados $\lambda/2$).

Una onda pasa de un medio a otro en el que se propaga más despacio. ¿Qué magnitud no cambia?

La frecuencia. La impone el foco que genera la onda: cada punto del nuevo medio vibra al ritmo que le llega, ni más ni menos. Como $v = \lambda f$ y la $v$ baja, lo que se acorta es la longitud de onda. Guarda esta idea: la reutilizarás en la refracción de la luz.

Míralo

Onda armónica viajera Abrir aparte ↗
Pruébalo Está sembrada la onda del ejemplo de abajo. Sigue el punto marcado: la onda avanza, pero él solo sube y baja — dos movimientos distintos con dos velocidades distintas. Duplica después la frecuencia sin tocar nada más y fíjate en que la longitud de onda se reduce a la mitad: el producto $\lambda f$ no cambia, porque lo fija el medio.
¿Y si la onda rebota y se encuentra consigo misma? Estacionarias e interferencias

Dos ondas iguales viajando en sentidos opuestos (la ida y su reflejo en un extremo fijo) se suman en una onda estacionaria: hay puntos que no se mueven nunca (nodos, separados $\lambda/2$) y puntos que oscilan al máximo (vientres). Ya no viaja nada: la cuerda entera «respira».

Y dos focos coherentes producen interferencias: refuerzo donde la diferencia de caminos es un número entero de $\lambda$, cancelación donde es un número impar de semilongitudes.

Tienes las dos en el catálogo: onda estacionaria: nodos y vientres y interferencia por doble rendija.

Ejemplo resuelto Problema tipo de Selectividad

Una onda transversal se propaga por una cuerda según $y(x,t) = 0{,}2\,\text{sen}(\pi t - \pi x)$, en unidades del SI. Determina la amplitud, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación, y calcula la velocidad máxima de un punto de la cuerda.

Ver la solución paso a paso

Leer la ecuación, término a término

Comparando con $y = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$:

$$A = 0{,}2\ \text{m} \qquad \omega = \pi\ \text{rad/s} \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\ \text{s} \qquad k = \pi\ \text{rad/m} \Rightarrow \lambda = \frac{2\pi}{k} = 2\ \text{m}$$

La velocidad de la onda

$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{2}{2} = 1\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\quad\text{hacia } +x \text{ (por el signo menos)}$$

La velocidad máxima de un punto

Derivando respecto al tiempo (la $x$ del punto queda fija):

$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}2\,\pi\cos(\pi t - \pi x) \qquad\Longrightarrow\qquad v_{y,\text{máx}} = A\,\omega = 0{,}63\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$

Fíjate: ni siquiera se parece a la velocidad de propagación. Son conceptos distintos.

Antes de operar, escribe siempre la plantilla $y = A\,\text{sen}(\omega t \mp kx)$ debajo de la ecuación del enunciado y empareja término a término. La mitad de los fallos de este apartado son de identificación, no de cálculo.

La energía que viaja: intensidad y nivel sonoro

La intensidad de una onda es la energía que atraviesa, por unidad de tiempo, la unidad de superficie perpendicular a la propagación: $I = P/S$, en $\text{W}\,\text{m}^{-2}$. Es proporcional al cuadrado de la amplitud (y de la frecuencia). Un foco puntual de potencia $P$ reparte su energía en esferas cada vez mayores:

$$I = \frac{P}{4\pi r^2} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{I_1}{I_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} \qquad\qquad \frac{A_1}{A_2} = \frac{r_2}{r_1}$$ Atenuación por la distancia: al doble de distancia, un cuarto de la intensidad y la mitad de la amplitud.

Además, el medio absorbe parte de la energía, y la intensidad decae con el espesor atravesado: $I(x) = I(0)\,e^{-\alpha x}$, donde $\alpha$ es el coeficiente de absorción del medio.

El oído responde de forma aproximadamente logarítmica, así que el sonido se mide con el nivel de intensidad sonora, en decibelios:

$$\beta = 10\,\log\frac{I}{I_0} \qquad\qquad I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}$$ $I_0$ es el umbral de audición (0 dB). Cada factor 10 en intensidad suma 10 dB.

Por ejemplo, 80 dB corresponden a $I = 10^{-12}\cdot 10^{8} = 10^{-4}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}$; diez veces más lejos, la intensidad es cien veces menor, $10^{-6}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}$, y el nivel baja a 60 dB.

Los decibelios no se suman. Dos altavoces iguales de 60 dB dan el doble de intensidad, y el nivel sube solo $10\log 2 \approx 3\ \text{dB}$: 63 dB, no 120. Suma siempre intensidades y pasa a decibelios al final.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los 33 problemas de este apartado.

  • Confundir la velocidad de propagación ($\lambda f$) con la velocidad de vibración de un punto ($A\omega$ como máximo).
  • Leer el sentido de avance al revés: $\omega t - kx$ viaja hacia $+x$; $\omega t + kx$, hacia $-x$.
  • Escribir $k = 1/\lambda$ en vez de $k = 2\pi/\lambda$ (y lo mismo con $\omega$ y $T$).
  • Evaluar senos y cosenos en grados cuando el argumento está en radianes.
  • Olvidar que al cambiar de medio la frecuencia se conserva y son $v$ y $\lambda$ las que cambian.
33problemas de ondas mecánicas en el banco
3simulaciones: viajera, estacionaria e interferencias
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La luz cambia de medio: refracción

37 problemas en el banco

La idea. La luz es una onda (electromagnética: no necesita medio material), y en cada medio viaja a una velocidad distinta. El índice de refracción mide cuánto se frena: $n = c/v$. Al cruzar la frontera entre dos medios, ese cambio de velocidad tuerce el rayo — y la ley de Snell dice exactamente cuánto.

$$n_1\,\text{sen}\,\hat\imath = n_2\,\text{sen}\,\hat r$$ Los ángulos se miden siempre respecto a la normal, nunca respecto a la superficie.

Dos consecuencias inmediatas, que conviene tener automatizadas:

Si la luz pasa a un medio…El rayo…Ejemplo
Más denso ópticamente ($n_2 > n_1$)Se acerca a la normalDel aire al agua
Menos denso ($n_2 < n_1$)Se aleja de la normalDel agua al aire

Y lo del apartado anterior sigue valiendo: al refractarse, la frecuencia no cambia. Cambian la velocidad ($v = c/n$) y con ella la longitud de onda ($\lambda = \lambda_0/n$). El color de la luz —que va con la frecuencia— es el mismo dentro y fuera del agua.

La luz dentro del espectro electromagnético

La luz visible es solo una franja estrecha de las ondas electromagnéticas, que en el vacío viajan todas a la misma velocidad y cumplen

$$c = \lambda f = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$ A mayor frecuencia, menor longitud de onda (y más energía por fotón, $E = hf$: lo verás en Física moderna).

Ordenadas de menor a mayor frecuencia (de mayor a menor $\lambda$): ondas de radio, microondas, infrarrojo, visible, ultravioleta, rayos X y rayos gamma. El visible va aproximadamente de 700 nm (rojo) a 400 nm (violeta). Así, la luz de 600 nm del ejemplo de abajo tiene una frecuencia $f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{6\cdot10^{-7}} = 5\cdot10^{14}\ \text{Hz}$.

Cuando el enunciado dice «luz de 600 nm» sin más, es la longitud de onda en el vacío, $\lambda_0$. Calcula la frecuencia con ésa: es la misma en cualquier medio.

La reflexión total

Cuando la luz va del medio más refringente al menos (agua → aire), el rayo refractado se aleja de la normal… hasta que para cierto ángulo de incidencia el refractado saldría rasante a 90°. A partir de ahí ya no sale nada: todo se refleja.

$$\text{sen}\,\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \qquad (n_1 > n_2)$$ El ángulo límite solo existe yendo de mayor a menor índice. Es el principio de la fibra óptica.

¿Puede producirse reflexión total cuando la luz pasa del aire ($n=1$) al agua ($n=1{,}33$)?

No puede. Del aire al agua el rayo se acerca a la normal: por muy rasante que entre, siempre hay refractado. La condición $\text{sen}\,\theta_c = n_2/n_1$ solo tiene solución si $n_2 < n_1$. En un examen, antes de calcular ángulos límite comprueba el sentido del viaje: la mitad de las veces la pregunta es justamente ésa.

Míralo

Refracción y ley de Snell Abrir aparte ↗
Pruébalo Está sembrado el ejemplo de abajo: aire → agua con incidencia de 45°. Comprueba que el refractado se acerca a la normal. Después intercambia los índices (agua → aire) y ve subiendo el ángulo de incidencia poco a poco: alrededor de 48,8° verás desaparecer el rayo refractado — acabas de encontrar el ángulo límite.
Ejemplo resuelto Problema tipo de Selectividad

Un rayo de luz de $600\,\text{nm}$ (en el vacío) incide desde el aire sobre la superficie del agua ($n = 1{,}33$) con un ángulo de $45°$. Calcula el ángulo de refracción y la longitud de onda de la luz dentro del agua. ¿Cuál es el ángulo límite para el camino inverso, del agua al aire?

Ver la solución paso a paso

El ángulo de refracción

$$1\cdot\text{sen}\,45° = 1{,}33\cdot\text{sen}\,\hat r \quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\hat r = \frac{0{,}707}{1{,}33} = 0{,}532 \quad\Longrightarrow\quad \hat r = 32{,}1°$$

Menor que 45°: el rayo se acerca a la normal, como corresponde al entrar en el medio más refringente.

La longitud de onda en el agua

La frecuencia no cambia; la velocidad baja a $v = c/n$, y la longitud de onda con ella:

$$\lambda_{agua} = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{600}{1{,}33} = 451\ \text{nm}$$

El ángulo límite (agua → aire)

$$\text{sen}\,\theta_c = \frac{1}{1{,}33} = 0{,}752 \quad\Longrightarrow\quad \theta_c = 48{,}8°$$

Cualquier rayo que llegue a la superficie desde el agua con más de 48,8° se refleja por completo: visto desde debajo, fuera de ese cono el «techo» del agua es un espejo.

Si el enunciado te da el ángulo «con la superficie», réstalo de 90° antes de tocar Snell. Corregir esto al final no vale: arrastra todo el problema.

Láminas, prismas y dispersión

Lámina de caras paralelas

Un rayo que atraviesa una lámina (el vidrio de una ventana) se refracta dos veces. Aplicando Snell en cada cara, $n_1\,\text{sen}\,\hat\imath = n_2\,\text{sen}\,\hat r = n_1\,\text{sen}\,\hat\imath'$: si el medio es el mismo a los dos lados, el rayo sale paralelo al incidente, solo desplazado lateralmente. Para una lámina de espesor $e$:

$$d = \frac{e\,\text{sen}(\hat\imath - \hat r)}{\cos\hat r}$$ $d$ es la distancia entre la prolongación del rayo incidente y el emergente; dentro de la lámina el rayo recorre $e/\cos\hat r$.

El prisma

En un prisma de ángulo $\alpha$ (el que forman las dos caras que atraviesa la luz) las caras no son paralelas y el rayo sale desviado hacia la base. Si $\hat r_1$ es el ángulo de refracción en la primera cara y $\hat\imath_2$ el de incidencia en la segunda, la geometría impone:

$$\hat r_1 + \hat\imath_2 = \alpha \qquad\qquad \delta = \hat\imath_1 + \hat r_2 - \alpha$$ $\hat\imath_1$: incidencia en la primera cara; $\hat r_2$: ángulo de salida; $\delta$: desviación total. Todos, respecto a sus normales.

El caso de examen: el rayo entra perpendicular a una cara ($\hat\imath_1 = \hat r_1 = 0$), así que llega a la segunda con $\hat\imath_2 = \alpha$. Si $\alpha$ supera el ángulo límite vidrio-aire, allí hay reflexión total y no sale nada por esa cara (así funcionan los prismas de los prismáticos).

La dispersión

El índice de refracción de un material depende ligeramente de la frecuencia: en el vidrio o en el agua, $n$ es algo mayor para el violeta que para el rojo. Al refractarse la luz blanca, cada color se desvía un ángulo distinto —el violeta más, el rojo menos— y los colores se separan: es la dispersión. Así abre un prisma el espectro visible, y así forman las gotas de lluvia el arco iris. En el vacío no hay dispersión: todas las frecuencias viajan a $c$.

Al dispersarse, cada color conserva su frecuencia; lo que los distingue dentro del vidrio es su velocidad, $v = c/n$, distinta para cada uno. El rojo es el que va más deprisa y el que menos se desvía.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los 37 problemas de este apartado.

  • Medir los ángulos respecto a la superficie en vez de respecto a la normal.
  • Buscar ángulo límite en el sentido equivocado (de menor a mayor índice no existe).
  • Decir que al cambiar de medio cambia la frecuencia. Cambian $v$ y $\lambda$; la frecuencia la fija la fuente.
  • Olvidar recalcular $\lambda$ dentro del medio ($\lambda = \lambda_0/n$).
  • La calculadora en radianes cuando el problema va en grados (o al revés).
37problemas de luz y refracción en el banco
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Óptica geométrica: lentes y espejos

31 problemas en el banco

La idea. Una lente no hace magia: solo refracta dos veces. Todo se calcula con una ecuación y un convenio de signos — y el convenio es el 50 % de la nota. Aquí usamos el habitual (DIN): la luz viaja de izquierda a derecha, las distancias se miden desde la lente, y lo que queda a la izquierda es negativo.

En la práctica: objeto real → $s < 0$; lente convergente → $f' > 0$; divergente → $f' < 0$; imagen con $s' > 0$ → real (a la derecha); $s' < 0$ → virtual.

$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \qquad\qquad M = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} \qquad\qquad P = \frac{1}{f'}$$ $M > 0$: imagen derecha; $M < 0$: invertida. La potencia $P$ va en dioptrías, con $f'$ en metros.

El mapa de casos de la lente convergente

Objeto en…ImagenUso típico
Más allá de $2f$Real, invertida, menorCámara de fotos
Entre $f$ y $2f$Real, invertida, mayorProyector
Dentro del focoVirtual, derecha, mayorLupa

La divergente es más aburrida: con objeto real, la imagen es siempre virtual, derecha y menor, esté donde esté el objeto. Por eso corrige la miopía (acerca la imagen de lo lejano), mientras que la convergente corrige la hipermetropía.

Trazado de rayos: la imagen en diez segundos

Para dibujar la imagen de un objeto basta con seguir, desde su extremo superior, dos de estos tres rayos (el tercero sirve de comprobación):

  • El que llega paralelo al eje sale pasando por el foco imagen $F'$ (en la divergente, sale como si viniera de $F'$).
  • El que pasa por el centro óptico atraviesa la lente sin desviarse.
  • El que pasa por el foco objeto $F$ (en la divergente, el que se dirige hacia él) sale paralelo al eje.

Donde se cortan los rayos que salen de la lente está la imagen real; si salen divergiendo, se prolongan hacia atrás (a trazos) y sus prolongaciones se cortan en una imagen virtual. Los dos focos son simétricos respecto a la lente: $F'$ está a una distancia $f'$ y $F$ a $-f'$. En la divergente, como $f' < 0$, $F'$ queda a la izquierda y $F$ a la derecha.

El trazado cualitativo se suele pedir junto al cálculo. Dibuja el eje, la lente, $F$ y $F'$ a una escala aproximada, y comprueba que la imagen dibujada tiene la naturaleza que te dio la ecuación.
El error no está en la fórmula, está en los signos. Un objeto real a 30 cm es $s = -30\,\text{cm}$, no $+30$. Si al sustituir te sale una imagen «detrás del objeto» o una lupa que invierte, revisa los signos antes que la fórmula: casi seguro que el fallo está ahí.

Con una lente divergente y un objeto real, ¿qué imagen es imposible obtener?

Real e invertida: imposible. La divergente separa los rayos, así que con objeto real solo puede formar imágenes virtuales, derechas y menores (las dos primeras opciones son, de hecho, la misma imagen). Si en un problema con divergente te sale $s' > 0$, hay un signo mal puesto.

Míralo

Óptica geométrica: lentes, miopía e hipermetropía Abrir aparte ↗
Pruébalo Está sembrado el ejemplo de abajo: objeto a 30 cm de una convergente de $f' = 10$ cm. Sigue los tres rayos principales hasta la imagen. Después arrastra el objeto dentro del foco y observa el cambio de régimen: la imagen salta al otro lado, se endereza y se agranda — acabas de construir una lupa. Prueba también el modo de miopía con sus gafas divergentes.
Ejemplo resuelto Problema tipo de Selectividad

Un objeto de $5\,\text{cm}$ de altura se sitúa $30\,\text{cm}$ a la izquierda de una lente convergente de $10\,\text{cm}$ de distancia focal. Determina la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen.

Ver la solución paso a paso

Los datos, con su signo

Objeto real a la izquierda: $s = -30\,\text{cm}$. Lente convergente: $f' = +10\,\text{cm}$.

La posición

$$\frac{1}{s'} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} \quad\Longrightarrow\quad s' = +15\ \text{cm}$$

Positiva: la imagen está 15 cm a la derecha de la lente. Es real — se puede recoger en una pantalla.

El tamaño

$$M = \frac{s'}{s} = \frac{15}{-30} = -0{,}5 \qquad\Longrightarrow\qquad y' = M\,y = -2{,}5\ \text{cm}$$

Invertida y de la mitad de tamaño: el objeto está más allá de $2f$ (30 > 20), y el mapa de casos predecía exactamente esto.

Termina siempre contrastando el resultado con el mapa de casos y, si puedes, con un trazado de rayos rápido. Un esquema de diez segundos detecta un error de signo que la calculadora no va a detectar por ti.

Los espejos esféricos

Un espejo esférico refleja en vez de refractar, pero se trabaja igual: el mismo convenio DIN (distancias desde el vértice, positivas hacia la derecha, la luz llega desde la izquierda) y una ecuación casi gemela. El foco está en el punto medio entre el vértice y el centro de curvatura $C$, así que $f = R/2$:

$$\frac{1}{s'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{f} = \frac{2}{R} \qquad\qquad M = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}$$ Espejo cóncavo: $R$ y $f$ negativos (el centro está del lado de la luz). Convexo: $R$ y $f$ positivos. Plano: $s' = -s$ y $M = 1$.

Lo que cambia es la lectura de $s'$: la luz reflejada vuelve hacia la izquierda, así que la imagen real se forma delante del espejo, con $s' < 0$, y la virtual detrás, con $s' > 0$ — justo al revés que en las lentes. El signo de $M$ se lee igual: positivo, derecha; negativo, invertida.

Los casos recuerdan a los de la lente convergente. Un espejo cóncavo da imagen real e invertida si el objeto está más allá del foco (menor si está más allá de $C$, mayor entre $C$ y $F$) y virtual, derecha y mayor si está entre el foco y el espejo (espejo de aumento). Un espejo convexo da siempre imagen virtual, derecha y menor: de ahí los retrovisores y los espejos de los cruces. Para el trazado: el rayo paralelo al eje se refleja pasando por $F$ (en el convexo, como si viniera de él), el que pasa por $C$ (o se dirige hacia él) vuelve sobre sí mismo y el que pasa por $F$ (o se dirige hacia él) sale paralelo.

Trampa típica: aplicar al espejo el criterio de las lentes y llamar «virtual» a una imagen con $s' < 0$. En un espejo, $s' < 0$ es imagen real, delante. Con un cóncavo de $f = -10\ \text{cm}$ y el objeto en $s = -30\ \text{cm}$, $1/s' = -1/10 + 1/30$ da $s' = -15\ \text{cm}$: real, y con $M = -0{,}5$, invertida y de la mitad de tamaño.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los 31 problemas de este apartado.

  • Meter el objeto con $s > 0$. Con el convenio DIN, un objeto real está a la izquierda: $s < 0$.
  • Olvidar el signo de $f'$ en la divergente ($f' < 0$).
  • Dar el aumento sin signo, y con él la orientación de la imagen: $M < 0$ significa invertida.
  • Calcular la potencia en dioptrías con la focal en centímetros: hay que pasar a metros.
  • No indicar la naturaleza (real/virtual, derecha/invertida) cuando el enunciado la pide: es la mitad de la puntuación del apartado.
31problemas de óptica geométrica en el banco
6problemas más con un apartado de óptica geométrica
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El bloque de un vistazo

Si tuvieras que quedarte con seis frases del bloque entero, serían éstas:

  1. Una onda transporta energía, no materia: cada punto solo vibra. Doble periodicidad: $T$ en el tiempo, $\lambda$ en el espacio, unidas por $v = \lambda f$.
  2. La velocidad de la onda ($\lambda f$) y la de un punto ($A\omega$ como máximo) son cosas distintas.
  3. Al cambiar de medio, la frecuencia se conserva; cambian velocidad y longitud de onda.
  4. Snell con los ángulos desde la normal: hacia el medio más denso, el rayo se acerca a ella.
  5. La reflexión total solo existe de mayor a menor índice, a partir del ángulo límite $\text{sen}\,\theta_c = n_2/n_1$.
  6. En lentes, el convenio de signos es la mitad del problema: objeto real $s < 0$, convergente $f' > 0$, imagen real $s' > 0$, $M < 0$ invertida.
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Todos los enunciados oficiales de Vibraciones y ondas caídos en la PAU, con el resultado y la solución desarrollada paso a paso. Se abren en una pestaña nueva, para que no pierdas el hilo de los apuntes.

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias (33)

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas (37)

Óptica geométrica: lentes y espejos (31)

Movimiento armónico simple (1)