FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

a) Una onda transversal se propaga por una cuerda con velocidad

v

, amplitud

A_0

y frecuencia

f_0

. Si se duplica la longitud de onda manteniendo constante

v

, ¿en qué proporción cambian la velocidad máxima y la aceleración máxima de oscilación de las partículas del medio?

b) Si la ecuación de la onda es

y(x,t) = 0{,}02\,\text{sen}(100\pi t - 40\pi x)

(SI), calcule la longitud de onda, el periodo y la velocidad de propagación. Determine las ecuaciones de la velocidad y la aceleración de vibración.

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Resultado

\boxed{\;\lambda=0{,}05\,\text{m};\ T=0{,}02\,\text{s};\ v=2{,}5\,\text{m/s};\ v_{\text{vib,máx}}=2\pi\approx6{,}28\,\text{m/s};\ a_{\text{vib,máx}}=200\pi^2\approx1974\,\text{m/s}^2\;}

v_{\text{vib}}(x,t) = 2\pi\cos(100\pi t - 40\pi x)\ \text{(SI)}\qquad a_{\text{vib}}(x,t) = -200\pi^2\,\text{sen}(100\pi t - 40\pi x)\ \text{(SI)}

En a),

v_{\max}

se reduce a la mitad y

a_{\max}

a la cuarta parte.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Como

v = \lambda f

v

es constante, si

\lambda

se duplica, la frecuencia

f

\omega

) se reduce a la mitad. La velocidad máxima de un punto es

v_{\max} = A_0\omega

y la aceleración máxima

a_{\max} = A_0\omega^2

; por tanto

v_{\max}

se reduce a la mitad y

a_{\max}

a la cuarta parte. En b) identificamos

\omega

k

y derivamos

y

respecto al tiempo.

Desarrollo

a) Cada punto de la cuerda realiza un MAS,

y = A_0\,\text{sen}(\omega t - kx)

, cuya velocidad y aceleración de vibración son

\partial y/\partial t = A_0\omega\cos(\omega t-kx)

\partial^2 y/\partial t^2 = -A_0\omega^2\,\text{sen}(\omega t-kx)

; sus valores máximos son

v_{\max} = A_0\omega

a_{\max} = A_0\omega^2

. La velocidad de propagación depende solo del medio (tensión y densidad de la cuerda) y es

v = \lambda f

. Al duplicar

\lambda

con

v

constante,

f' = v/(2\lambda) = f_0/2

\omega' = \omega_0/2

. Con la amplitud

A_0

sin cambiar:

v_{\max}' = A_0\omega' = \tfrac12 A_0\omega_0 \Rightarrow \text{se reduce a la mitad}

a_{\max}' = A_0\omega'^2 = \tfrac14 A_0\omega_0^2 \Rightarrow \text{se reduce a la cuarta parte}

b) Comparando con

y = A\,\text{sen}(\omega t - kx)

\omega = 100\pi

k = 40\pi

A=0{,}02\,\text{m}

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02\ \text{s}\qquad \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{40\pi} = 0{,}05\ \text{m}\qquad v = \frac{\omega}{k} = 2{,}5\ \text{m s}^{-1}

Velocidad y aceleración de vibración:

v_{\text{vib}} = \frac{\partial y}{\partial t} = 2\pi\cos(100\pi t - 40\pi x)\ \text{m s}^{-1}

a_{\text{vib}} = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -200\pi^2\,\text{sen}(100\pi t - 40\pi x)\ \text{m s}^{-2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$v_{\max}=A\omega$ y $a_{\max}=A\omega^2$ : por eso al cambiar la frecuencia, la aceleración cambia con el cuadrado. No confundas la velocidad de propagación ( $2{,}5\,\text{m/s}$ ) con la de vibración (máx. $6{,}28\,\text{m/s}$ ).

Paso 1 de 3

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