Óptica geométrica: lentes y espejos

a) Una lente divergente tiene distancia focal negativa ($f' < 0$) y produce siempre, sea cual sea la posición del objeto, una imagen con las mismas tres características:

• Virtual. Los rayos emergentes divergen y nunca llegan a cortarse; solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás. Por eso $s' < 0$ y la imagen no puede recogerse sobre una pantalla.
• Derecha. El aumento lateral resulta siempre positivo, $\beta > 0$, así que la imagen conserva la orientación del objeto.
• Menor. Siempre $|\beta| < 1$.

Además, la imagen se forma entre el foco imagen y la lente, en el mismo lado que el objeto.

Se justifica con la ecuación de las lentes, $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s}$. Para un objeto real ($s < 0$) y $f' < 0$ los dos sumandos son negativos, así que $s' < 0$ (virtual) y $\left|\dfrac{1}{s'}\right| > \left|\dfrac{1}{s}\right|$ y $\left|\dfrac{1}{s'}\right| > \left|\dfrac{1}{f'}\right|$, es decir, $|s'| < |s|$ y $|s'| < |f'|$. Por tanto $\beta = s'/s$ es positivo (derecha) y menor que 1 (menor), y la imagen queda entre $F'$ y la lente.

Trazado de rayos. Desde el extremo superior del objeto se dibujan dos rayos:

1. Un rayo paralelo al eje óptico, que al atravesar la lente se desvía separándose del eje, como si procediera del foco imagen $F'$ (que en una divergente está a la izquierda de la lente).
2. Un rayo que pasa por el centro óptico, que no se desvía.

Los dos rayos emergentes divergen. Prolongándolos hacia atrás con línea discontinua, se cortan en un punto situado a la izquierda de la lente, entre ella y el objeto: ahí está la imagen, virtual, derecha y menor.

b) i) Trazado de rayos. Como el aumento es negativo, la imagen es invertida, y como está detrás de la lente, es real. Ésa es la situación de una lente convergente con el objeto más allá del doble de la distancia focal: el rayo paralelo al eje pasa por $F'$ tras la lente, el rayo que pasa por el centro óptico sigue recto, y ambos se cortan realmente al otro lado, formando una imagen invertida y menor que el objeto (porque $|\beta| = 0{,}5 < 1$).

b) ii) Con el criterio de signos habitual, "a $1{,}5\,\text{m}$ detrás de la lente" significa$$s' = +1{,}5\ \text{m}$$Del aumento lateral:$$\beta = \frac{s'}{s} = -0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{s'}{\beta} = \frac{1{,}5}{-0{,}5}$$$$s = -3\ \text{m}$$El objeto está a $3\,\text{m}$ delante de la lente (el signo negativo indica que está a la izquierda, como debe ser).

b) iii) Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas:$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}$$$$\frac{1}{f'} = \frac{1}{1{,}5} - \frac{1}{-3} = 0{,}6667 + 0{,}3333 = 1$$$$f' = 1\ \text{m}$$Comprobación de coherencia. La focal es positiva, como corresponde a una lente convergente ✓. Y el objeto está a $3\,\text{m}$, es decir, más allá del doble de la focal ($2f' = 2\,\text{m}$), que es exactamente la posición que produce una imagen real, invertida y menor, coherente con $\beta = -0{,}5$ ✓.