Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Una onda armónica, $y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$, es una función periódica de dos variables: de la posición y del tiempo.

Periodicidad espacial. Si se "congela" la onda en un instante $t$ fijo (una "foto" de la cuerda), la elongación en función de $x$ es una sinusoide que se repite cada longitud de onda $\lambda$: $y(x+\lambda, t) = y(x,t)$. $\lambda$ es la distancia mínima entre dos puntos que vibran en fase (por ejemplo, entre dos crestas consecutivas). Esquema: gráfica $y$ frente a $x$, una sinusoide de amplitud $A$, marcando $\lambda$ entre dos crestas. La magnitud asociada es el número de onda $k = 2\pi/\lambda$ (rad/m), pues al avanzar $\lambda$ la fase cambia $k\lambda = 2\pi$.

Periodicidad temporal. Si se observa un punto $x$ fijo, su elongación en función del tiempo es un MAS que se repite cada periodo $T$: $y(x, t+T) = y(x,t)$. $T$ es el tiempo que tarda un punto en completar una oscilación. Esquema: gráfica $y$ frente a $t$, una sinusoide de amplitud $A$, marcando $T$ entre dos máximos. Magnitudes asociadas: la frecuencia $f = 1/T$ (Hz) y la frecuencia angular $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ (rad/s).

Relación. En un periodo la perturbación avanza exactamente una longitud de onda, así que la velocidad de propagación relaciona ambas periodicidades:$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}$$b) $\omega = 2\pi\cdot200 = 400\pi\,\text{rad/s}$; $\lambda = v/f = 600/200 = 3\,\text{m}$; $k = 2\pi/3\,\text{rad/m}$. Propagación hacia $+x$ → argumento $\omega t - kx$. Con $y = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$, la condición $y(0,0) = A\,\text{sen}\,\varphi_0 = 0$ da $\varphi_0 = 0$ (o $\pi$, que solo cambiaría el sentido inicial de la vibración; el enunciado no lo fija y tomamos $\varphi_0 = 0$):$$y(x,t) = 0{,}03\,\text{sen}\!\left(400\pi\,t - \frac{2\pi}{3}\,x\right)\ \text{m}$$Velocidad de vibración de $x=0$ en $t=0$:$$v_{\text{vib}} = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}03\cdot400\pi\cos\!\left(400\pi\,t - \frac{2\pi}{3}\,x\right)\ \Rightarrow\ v_{\text{vib}}(0,0) = 12\pi\cos0 = 37{,}7\ \text{m s}^{-1}$$Es la velocidad máxima de vibración, $A\omega$, porque el punto pasa por la posición de equilibrio (con $\varphi_0 = \pi$ saldría $-37{,}7\,\text{m s}^{-1}$).