Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Una onda armónica transversal que se propaga en el sentido negativo del eje $OX$ lleva los términos $\omega t$ y $kx$ con el mismo signo:$$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega\,t + k\,x + \varphi_0)$$Magnitudes que intervienen:

• $y$: elongación, desplazamiento transversal del punto respecto a su posición de equilibrio (m).
• $A$: amplitud, elongación máxima (m).
• $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$: frecuencia angular ($\text{rad}\,\text{s}^{-1}$).
• $k = 2\pi/\lambda$: número de ondas ($\text{rad}\,\text{m}^{-1}$).
• $x$: posición del punto de la cuerda (m); $t$: tiempo (s).
• $\varphi_0$: fase inicial, que fija el estado de vibración en $t=0$ y $x=0$ (rad). Es no nula, como pide el enunciado.

a) ii) Son dos velocidades de naturaleza distinta:

Velocidad de propagación. Es la rapidez con que avanza la perturbación a lo largo de la cuerda. Es constante, depende solo de las propiedades del medio (tensión y densidad lineal) y se obtiene como$$v = \frac{\omega}{k} = \lambda\,f$$Velocidad de vibración. Es la rapidez con que se mueve un punto concreto de la cuerda, siempre en dirección perpendicular a la propagación. Es variable en el tiempo y se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos(\omega t + k x + \varphi_0)$$con valor máximo $v_{\text{máx}} = A\,\omega$. Ningún punto de la cuerda viaja con la onda: solo sube y baja.

b) i) La ecuación dada corresponde a una onda estacionaria de la forma $y = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$, con$$k = 3\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad \omega = 6\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$Las ondas armónicas que se superponen tienen esos mismos $k$ y $\omega$ (y amplitud $A = 0{,}1\,\text{m}$, la mitad del coeficiente):$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3} = 0{,}67\ \text{m}$$$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{6\pi}{3\pi} = 2\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(Comprobación: $f = \omega/2\pi = 3\,\text{Hz}$ y $v = \lambda f = 0{,}67\cdot 3 = 2\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$. ✓)

b) ii) Los nodos son los puntos que no se mueven nunca, donde se anula la amplitud espacial:$$\text{sen}(3\pi x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3\pi x = n\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{n}{3}\ \text{m}$$Están en $x = 0,\ 1/3,\ 2/3,\ 1\dots$, luego la distancia entre dos nodos consecutivos es$$d_{\text{nodo-nodo}} = \frac{\lambda}{2} = \frac{0{,}67}{2} = 0{,}33\ \text{m}$$Los vientres son los puntos de amplitud máxima, $|\text{sen}(3\pi x)| = 1$, situados justo a mitad de camino entre nodos consecutivos. Por tanto, la distancia entre un vientre y el nodo contiguo es la mitad de la anterior:$$d_{\text{vientre-nodo}} = \frac{\lambda}{4} = \frac{0{,}67}{4} = 0{,}17\ \text{m}$$