FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Óptica geométrica: lentes y espejos

También trata: Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias · Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Andalucía · 2025 · Reserva 4

Enunciado

a) Un haz de luz monocromática triplica su longitud de onda al pasar del medio 1 al medio 2. Determine razonadamente: i) (0,5 puntos) la relación entre las velocidades y entre los índices de refracción en ambos medios; ii) (0,5 puntos) si puede darse el fenómeno de reflexión total.

b1) Un objeto de

3\,\text{cm}

de altura se sitúa

25\,\text{cm}

delante de una lente delgada convergente. Si la distancia focal es

20\,\text{cm}

, calcule: i) (1 punto) la posición de la imagen, indicando el criterio de signos utilizado y justificando si la misma es real o virtual; ii) (0,5 puntos) la altura de la imagen y la potencia de la lente.

b2) Una onda estacionaria está descrita mediante la siguiente ecuación:

y(x,t) = 0{,}5\,\cos(0{,}5\pi x)\,\text{sen}(4\pi t)\quad (\text{SI})

Determine razonadamente: i) (0,75 puntos) la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas armónicas cuya superposición da lugar a esta onda estacionaria; ii) (0,75 puntos) la posición de algún nodo, ayudándose de un esquema.

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Resultado

\boxed{\;v_2 = 3v_1,\quad n_1 = 3n_2\qquad \text{Sí hay reflexión total, con } L = 19{,}5^\circ\;}

\boxed{\;s' = +100\ \text{cm (imagen real e invertida)}\qquad y' = -12\ \text{cm}\qquad P = 5\ \text{D}\;}

\boxed{\;A = 0{,}25\ \text{m}\quad \lambda = 4\ \text{m}\quad v = 8\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\quad \text{nodos en } x = 1,3,5\dots\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro, así que si

\lambda

se triplica,

v

se triplica y el índice queda dividido entre tres. Con

n_1 > n_2

sí puede haber reflexión total.

En b1) es una lente convergente con el objeto más allá de la focal (

25 > 20

): imagen real e invertida.

En b2) una onda estacionaria

y = 2A\cos(kx)\,\text{sen}(\omega t)

nace de la superposición de dos ondas de amplitud

A

(la mitad de la que aparece en la ecuación). Los nodos son los ceros del coseno.

Desarrollo

a) i) La frecuencia no cambia al cambiar de medio, luego

v = \lambda f

\frac{v_2}{v_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 3 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = 3\,v_1

Y como

n = c/v

\frac{n_1}{n_2} = \frac{v_2}{v_1} = 3 \quad\Longrightarrow\quad n_1 = 3\,n_2

El medio 1 es tres veces más refringente que el medio 2.

ii) Sí puede darse. La reflexión total exige pasar de mayor a menor índice, y aquí

n_1 > n_2

. El ángulo límite cumple

\text{sen}\,L = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1}{3} = 0{,}333 \quad\Longrightarrow\quad L = 19{,}5^\circ

Para ángulos de incidencia mayores que

19{,}5^\circ

el rayo no pasa al medio 2: se refleja totalmente.

b1) i) Criterio de signos (DIN): origen en el centro óptico; la luz va de izquierda a derecha; distancias positivas hacia la derecha. Objeto real:

s = -25\,\text{cm}

. Lente convergente:

f' = +20\,\text{cm}

.

Ecuación de la lente delgada:

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}

\frac{1}{s'} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-25} = 0{,}05 - 0{,}04 = 0{,}01\ \text{cm}^{-1}

s' = 100\ \text{cm} = 1\ \text{m}

Al ser

s' > 0

, la imagen se forma al otro lado de la lente, donde efectivamente convergen los rayos: es real (y podría recogerse en una pantalla). Era de esperar, porque el objeto está más allá de la distancia focal.

ii) Aumento lateral:

\beta = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = \frac{100}{-25} = -4

y' = -4\cdot 3 = -12\ \text{cm}

Imagen invertida (signo negativo) y cuatro veces mayor.

Potencia de la lente, con la focal en metros:

P = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0{,}20} = 5\ \text{dioptrías}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b2) La ecuación dada es

y(x,t) = 0{,}5\,\cos(0{,}5\pi x)\,\text{sen}(4\pi t)

que responde a la forma general de una onda estacionaria

y(x,t) = 2A\,\cos(kx)\,\text{sen}(\omega t)

i) Comparando término a término:

2A = 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad A = 0{,}25\ \text{m}

Las ondas que se superponen tienen amplitud

0{,}25\,\text{m}

, la mitad de la que aparece en la ecuación.

k = 0{,}5\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0{,}5\pi} = 4\ \text{m}

\omega = 4\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{\omega}{2\pi} = 2\ \text{Hz}

v = \frac{\omega}{k} = \frac{4\pi}{0{,}5\pi} = 8\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

ii) Los nodos son los puntos que nunca se mueven, es decir, donde la amplitud espacial se anula:

\cos(0{,}5\pi x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}5\pi x = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \dots)

x = 1 + 2n \qquad\Longrightarrow\qquad x = 1,\ 3,\ 5,\ 7\ \dots\ \text{m}

En el esquema se dibuja la envolvente

\pm 0{,}5\cos(0{,}5\pi x)

: una sucesión de husos entre

x=1

x=3

, entre

x=3

x=5

, etc. Los nodos (

x = 1, 3, 5\dots\,\text{m}

) son los estrechamientos, separados

\lambda/2 = 2\,\text{m}

, y los vientres (

\cos(0{,}5\pi x) = \pm 1

, es decir,

x = 0, 2, 4\dots\,\text{m}

), donde la amplitud es máxima (

0{,}5\,\text{m}

), quedan en el centro de cada huso, a

\lambda/4 = 1\,\text{m}

de los nodos.

Consejo

En b2) i) la amplitud de las ondas componentes es la mitad del coeficiente que ves en la ecuación: $2A = 0{,}5$ , luego $A = 0{,}25\,\text{m}$ . Dar $0{,}5\,\text{m}$ es el error estándar.

Y ojo: en una onda estacionaria no hay propagación neta de energía. La $v = 8\,\text{m/s}$ que se pide es la de las ondas viajeras que la forman, no la de la estacionaria.