Óptica geométrica: lentes y espejos

a) Hay que usar una lente divergente.

Con una lente divergente y un objeto real (situado a la izquierda de la lente), los rayos que emergen siempre divergen, de modo que nunca se cortan realmente: solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás. Eso ocurre para cualquier posición del objeto, así que no hay que colocarlo en ningún sitio especial.

Trazado de rayos:

• El rayo que sale paralelo al eje se refracta divergiendo, de forma que su prolongación hacia atrás pasa por el foco imagen $F'$, que en una divergente está delante de la lente (del lado del objeto).
• El rayo que pasa por el centro óptico no se desvía.

Las prolongaciones de ambos se cortan entre el foco y la lente, del mismo lado que el objeto y por encima del eje. La imagen resulta virtual (no se puede recoger en pantalla), derecha y menor que el objeto, exactamente lo pedido.

Formalmente, con el criterio DIN: $f' < 0$ y $s < 0$, luego en $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s}$ los dos sumandos son negativos, $s' < 0$ (virtual) y además $|s'| < |s|$, con lo que $\beta = s'/s$ resulta positivo y menor que $1$ (derecha y menor).

Una lente convergente no sirve: solo da imagen virtual y derecha cuando el objeto está entre el foco y la lente, y en ese caso la imagen es siempre mayor que el objeto (es la lupa).

b) Criterio de signos (DIN): origen en el centro óptico; la luz se propaga de izquierda a derecha; las distancias son positivas hacia la derecha. El objeto real está a la izquierda ($s < 0$) y la lente es convergente ($f' > 0$).

Distancia focal a partir de la potencia:$$P = \frac{1}{f'} \quad\Longrightarrow\quad f' = \frac{1}{P} = \frac{1}{4} = 0{,}25\ \text{m} = 25\ \text{cm}$$La imagen es real e invertida y de tamaño doble, luego el aumento lateral es negativo:$$\beta = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = -2 \quad\Longrightarrow\quad s' = -2\,s$$i) Sustituyendo en la ecuación de la lente delgada:$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{-2s} - \frac{1}{s} = \frac{1}{25}$$$$-\frac{1}{2s} - \frac{2}{2s} = -\frac{3}{2s} = \frac{1}{25}$$$$s = -\frac{3\cdot 25}{2} = -37{,}5\ \text{cm}$$El objeto debe colocarse a $37{,}5\,\text{cm}$ delante de la lente. (Coherente: está entre $f' = 25\,\text{cm}$ y $2f' = 50\,\text{cm}$, que es justo la zona que produce imágenes reales, invertidas y mayores.)

ii) Posición de la imagen:$$s' = -2\,s = -2\cdot(-37{,}5) = +75\ \text{cm}$$Positiva, es decir, a $75\,\text{cm}$ detrás de la lente: la imagen es real, como pedía el enunciado.

Comprobación: $\dfrac{1}{75} - \dfrac{1}{-37{,}5} = 0{,}0133 + 0{,}0267 = 0{,}04 = \dfrac{1}{25}$ ✓

iii) Trazado de rayos: el rayo paralelo al eje sale por el foco imagen $F'$ ($25\,\text{cm}$ detrás); el rayo que pasa por el centro óptico sigue recto; el rayo que pasa por el foco objeto $F$ ($25\,\text{cm}$ delante) sale paralelo. Los tres rayos se cortan realmente a $75\,\text{cm}$ detrás de la lente, por debajo del eje, formando una imagen real, invertida y del doble de tamaño.