FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

a) Explique la doble periodicidad de las ondas armónicas e indique las magnitudes que las describen.

b) En una cuerda tensa se genera una onda viajera de

10\,\text{cm}

de amplitud mediante un oscilador de

20\,\text{Hz}

. La onda se propaga a

2\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

. Escriba la ecuación de la onda suponiendo que se propaga en el sentido negativo del eje

X

y que en el instante inicial la elongación en el foco es nula. Calcule la velocidad de un punto de la cuerda situado a

1\,\text{m}

del foco en el instante

t = 3\,\text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}(40\pi t + 20\pi x)\ \ (\text{SI})\;}

\boxed{\;v_y = 4\pi \approx 12{,}6\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una onda armónica se repite dos veces: en el tiempo (cada punto vuelve a su estado cada periodo

T

) y en el espacio (la foto de la cuerda se repite cada longitud de onda

\lambda

). Eso es la doble periodicidad.

En b) hay que montar la ecuación cuidando dos detalles: se propaga hacia

-X

(signo

+

delante de

kx

) y en el foco, en

t=0

, la elongación es nula, así que la fase inicial es cero con el seno. Después, la velocidad de vibración de un punto no es la velocidad de propagación: hay que derivar

y

respecto al tiempo.

Desarrollo

a) La ecuación de una onda armónica

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t \mp k x + \varphi_0)

es periódica en las dos variables:

Periodicidad temporal: fijado un punto $x$ , su elongación se repite cada periodo $T$ . Magnitudes asociadas: $T$ (s), la frecuencia $f = 1/T$ (Hz) y la frecuencia angular $\omega = 2\pi/T$ (rad/s).
Periodicidad espacial: congelado el tiempo, la forma de la cuerda se repite cada longitud de onda $\lambda$ . Magnitudes asociadas: $\lambda$ (m) y el número de ondas $k = 2\pi/\lambda$ (rad/m).

Ambas se enlazan con la velocidad de propagación:

v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}

b) Datos:

A = 0{,}10\,\text{m}

f = 20\,\text{Hz}

v = 2\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

\omega = 2\pi f = 40\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad \lambda = \frac{v}{f} = \frac{2}{20} = 0{,}1\,\text{m} \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = 20\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}

Se propaga hacia

-X

, así que los signos de

\omega t

kx

coinciden; y en

t=0

x=0

la elongación es nula, luego

\varphi_0 = 0

y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}(40\pi t + 20\pi x)\ \ (\text{SI})

La velocidad de vibración de un punto es la derivada temporal:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}1\cdot 40\pi\,\cos(40\pi t + 20\pi x) = 4\pi\cos(40\pi t + 20\pi x)

Un punto situado a

1\,\text{m}

del foco en la dirección de avance ocupa la posición

x = -1\,\text{m}

. En

t = 3\,\text{s}

v_y = 4\pi\cos(120\pi - 20\pi) = 4\pi\cos(100\pi) = 4\pi\cdot 1

v_y = 12{,}6\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más caro es confundir $v = 2\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ (a qué velocidad avanza la onda) con $v_y$ (a qué velocidad sube y baja un punto). Son cosas distintas y la ponencia lo penaliza.

Ojo también con el signo: hacia $-X$ es $\text{sen}(\omega t + kx)$ . Y trabaja los ángulos en radianes: $\cos(100\pi) = 1$ porque $100\pi$ es un múltiplo par de $\pi$ .

Paso 1 de 3

¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.

Sigue practicando

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Se desea obtener una imagen virtual y de mayor tamaño que el objeto utilizando una lente delgada. Justifique…

Física · Andalucía · 2025 · Junio Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Escriba la ecuación general de una onda estacionaria y explique el significado físico de cada una de…

Física · Andalucía · 2024 · Reserva 3 Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Explique las diferencias entre ondas longitudinales y ondas transversales, proporcionando un ejemplo representativo…

Física · Andalucía · 2024 · Julio Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Demuestre razonadamente, a partir de la ecuación de onda, cómo varían la velocidad y la aceleración máxima…

Física · Andalucía · 2024 · Junio

Apuntes y todos los problemas de Vibraciones y ondas →