Óptica geométrica: lentes y espejos

a) i) Imagen real, invertida y del mismo tamaño: el objeto debe colocarse en $2f$, es decir, a una distancia igual al doble de la focal ($s = -2f'$).

Trazado de rayos: el rayo paralelo al eje sale por el foco imagen $F'$; el rayo que pasa por el centro óptico no se desvía. Ambos se cortan realmente al otro lado, a una distancia $2f'$, por debajo del eje. Comprobación con la ecuación de la lente:$$\frac{1}{s'} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} - \frac{1}{2f'} = \frac{1}{2f'} \quad\Longrightarrow\quad s' = 2f'$$$$\beta = \frac{s'}{s} = \frac{2f'}{-2f'} = -1$$El aumento vale $-1$: mismo tamaño e invertida, y al ser $s' > 0$ la imagen es real.

a) ii) Imagen virtual, derecha y de mayor tamaño: el objeto debe colocarse entre el foco y la lente, es decir, a una distancia menor que la focal ($|s| < f'$).

Trazado de rayos: el rayo paralelo sale por $F'$ y el rayo central sigue recto, pero al estar el objeto tan cerca los rayos emergentes divergen y solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás, al mismo lado que el objeto. La imagen es virtual, derecha y ampliada. Es el funcionamiento de la lupa.

Lo confirma la ecuación de la lente: con $-f' < s < 0$ resulta $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s} < 0$, luego $s' < 0$ (virtual), y además $|s'| > |s|$, de modo que $\beta = s'/s > 1$ (derecha y mayor).

b) Criterio de signos (DIN): origen en el centro óptico; la luz se propaga de izquierda a derecha; las distancias son positivas hacia la derecha. El objeto real está a la izquierda, $s = -3\,\text{m}$. Que la imagen se forme delante de la lente significa que está del mismo lado que el objeto, luego $s' = -1{,}5\,\text{m}$ (imagen virtual).

i) Ecuación de la lente delgada:$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}$$$$\frac{1}{f'} = \frac{1}{-1{,}5} - \frac{1}{-3} = -0{,}667 + 0{,}333 = -0{,}333\ \text{m}^{-1}$$$$f' = -3\ \text{m}$$Justificación del signo: la focal sale negativa, que es exactamente lo que corresponde a una lente divergente. Su foco imagen está delante de la lente (del lado del objeto), y por eso los rayos emergentes divergen como si procedieran de él. Si hubiese salido positiva, habría una contradicción con el enunciado.

ii) Aumento lateral:$$\beta = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = \frac{-1{,}5}{-3} = +0{,}5$$$$y' = 0{,}5\cdot 10 = 5\ \text{cm}$$El aumento es positivo, luego la imagen es derecha (no invertida), y menor que el objeto: mide $5\,\text{cm}$, la mitad. Junto con $s' < 0$, resulta la terna característica de la lente divergente con objeto real: virtual, derecha y menor.