Óptica geométrica: lentes y espejos

a) i) En una lente divergente, el foco imagen $F'$ está delante de la lente, del mismo lado que el objeto (a la izquierda), a una distancia $|f'|$. Un objeto situado "a la izquierda de $F'$" está, por tanto, más lejos de la lente que la distancia focal.

Trazado de rayos:

• El rayo que sale del extremo del objeto paralelo al eje se refracta divergiendo, de modo que su prolongación hacia atrás pasa por el foco imagen $F'$.
• El rayo que se dirige al centro óptico atraviesa la lente sin desviarse.

Los dos rayos emergentes divergen; solo se cortan sus prolongaciones, entre el foco $F'$ y la lente, por encima del eje.

a) ii) La imagen resultante es:

• Virtual, porque se forma con las prolongaciones de los rayos y no con los rayos reales (no se puede recoger en una pantalla).
• Derecha, porque queda del mismo lado del eje que el objeto.
• De menor tamaño que el objeto, y situada entre el foco y la lente.

Estas tres características se dan siempre en una lente divergente con objeto real, esté donde esté el objeto. Analíticamente: con $f' < 0$ y $s < 0$, en $\frac{1}{s'} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{s}$ ambos sumandos son negativos, luego $s' < 0$ y $|s'| < |s|$, con lo que $\beta = s'/s$ es positivo y menor que la unidad.

b) i) Criterio de signos (DIN): origen en el centro óptico; la luz se propaga de izquierda a derecha; las distancias son positivas hacia la derecha. La lente es convergente, luego $f' = +10\,\text{cm}$.

La imagen está $10\,\text{cm}$ a la izquierda, luego$$s' = -10\ \text{cm}$$(negativa: la imagen es virtual, está en el mismo lado que el objeto).

Ecuación de la lente delgada:$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{s} = \frac{1}{s'} - \frac{1}{f'} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{10}$$$$\frac{1}{s} = -0{,}1 - 0{,}1 = -0{,}2\ \text{cm}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad s = -5\ \text{cm}$$El objeto está a $5\,\text{cm}$ a la izquierda de la lente, es decir, dentro de la distancia focal ($5 < 10$), como corresponde al modo lupa.

Aumento lateral:$$\beta = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = \frac{-10}{-5} = +2$$Como la imagen mide $y' = 4\,\text{cm}$:$$y = \frac{y'}{\beta} = \frac{4}{2} = 2\ \text{cm}$$El objeto mide $2\,\text{cm}$ de altura.

b) ii) Trazado de rayos: el rayo paralelo al eje sale por el foco imagen $F'$ (a la derecha); el rayo que pasa por el centro óptico no se desvía. Al estar el objeto dentro de la focal, ambos rayos emergentes divergen y hay que prolongarlos hacia atrás: se cortan a $10\,\text{cm}$ a la izquierda de la lente, por encima del eje.

La imagen es, por tanto, virtual, derecha y de mayor tamaño (el doble): exactamente el comportamiento de una lupa.