Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Al cambiar de medio, la frecuencia no cambia (la fija el foco emisor). De $v = \lambda\,f$:$$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\lambda_2\,f}{\lambda_1\,f} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2$$$$v_2 = 2\,v_1$$La onda se propaga al doble de velocidad en el segundo medio: la velocidad de propagación depende solo de las propiedades del medio (si fuese luz, el segundo medio sería el menos refringente, con la mitad de índice de refracción).

a) ii) La velocidad máxima de oscilación de un punto es$$v_{\text{máx}} = A\,\omega = A\cdot 2\pi f$$Ninguna de las dos magnitudes que intervienen cambia: la amplitud se mantiene constante por hipótesis y la frecuencia no cambia al cambiar de medio. Por tanto:$$v_{\text{máx},2} = v_{\text{máx},1}$$Es la misma en ambos medios. Es un buen recordatorio de que la velocidad de propagación y la de oscilación son magnitudes independientes: una se duplica y la otra no cambia.

b) i) Comparando con la forma general $y = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$:$$A = 2\ \text{m} \qquad \omega = 3\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad k = \pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad \varphi_0 = \frac{3\pi}{2}\ \text{rad}$$Amplitud: $A = 2\ \text{m}$

Periodo:$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3} = 0{,}67\ \text{s}$$Longitud de onda:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\ \text{m}$$Velocidad de propagación:$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{3\pi}{\pi} = 3\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(Los signos opuestos de $\omega t$ y $kx$ indican que se propaga en el sentido positivo del eje $X$.)

b) ii) Para dos puntos distintos en el mismo instante, el término temporal $\omega t$ y la fase inicial $\varphi_0$ son idénticos para ambos y se cancelan al restar. Solo queda la parte espacial:$$\Delta\varphi = |{-k\,x_2} - ({-k\,x_1})| = k\,|\Delta x| = \pi\cdot 1$$$$\Delta\varphi = \pi\ \text{rad}$$Como $\Delta x = 1\,\text{m}$ es exactamente $\lambda/2$, los dos puntos están en oposición de fase: cuando uno está en una cresta, el otro está en un valle.