Óptica geométrica: lentes y espejos

a) i) Objeto en el foco objeto de una lente convergente. Con $s = -f'$, la ecuación de la lente da$$\frac{1}{s'} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} - \frac{1}{f'} = 0 \quad\Longrightarrow\quad s' \to \infty$$La imagen se forma en el infinito: los rayos emergen paralelos entre sí y no llegan a cortarse. En el esquema, el rayo que sale del extremo del objeto hacia el centro óptico y el que sale paralelo al eje emergen ambos con la misma inclinación, sin converger nunca.

No hay imagen puntual observable: es la situación del colimador, que convierte un foco puntual en un haz de rayos paralelos (y a la inversa, es como el ojo recibe la luz de un objeto muy lejano).

a) ii) Objeto en el foco imagen de una lente divergente. En una divergente el foco imagen $F'$ está delante de la lente, así que colocar ahí el objeto significa $s = f'$ (ambos negativos):$$\frac{1}{s'} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{f'} = \frac{2}{f'} \quad\Longrightarrow\quad s' = \frac{f'}{2}$$Como $f' < 0$, resulta $s' < 0$: la imagen es virtual y se forma a la mitad de la distancia focal, entre el foco y la lente.

El aumento es$$\beta = \frac{s'}{s} = \frac{f'/2}{f'} = \frac{1}{2}$$positivo y menor que uno: la imagen es virtual, derecha y de la mitad de tamaño.

b) Criterio de signos (DIN): origen en el centro óptico; la luz se propaga de izquierda a derecha; las distancias son positivas hacia la derecha. Objeto real: $s < 0$.

Una lente divergente con objeto real da siempre imagen virtual, derecha y menor, así que el aumento es positivo:$$\beta = \frac{y'}{y} = +\frac{1}{3} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{s'}{s} = \frac{1}{3} \qquad\Longrightarrow\qquad s' = \frac{s}{3}$$Como ambos son negativos, objeto e imagen están al mismo lado de la lente, y la separación entre ellos es la diferencia de sus distancias:$$|s| - |s'| = |s| - \frac{|s|}{3} = \frac{2}{3}\,|s| = 64\ \text{cm}$$$$|s| = 96\ \text{cm} \quad\Longrightarrow\quad s = -96\ \text{cm}$$$$s' = \frac{s}{3} = -32\ \text{cm}$$Distancia focal, con la ecuación de la lente delgada:$$\frac{1}{f'} = \frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{-32} - \frac{1}{-96} = -0{,}03125 + 0{,}010417 = -0{,}020833\ \text{cm}^{-1}$$$$f' = -48\ \text{cm}$$Negativa, lo que confirma que la lente es divergente.

Trazado de rayos. El rayo que sale del extremo del objeto paralelo al eje se refracta divergiendo, de modo que su prolongación hacia atrás pasa por el foco imagen $F'$, situado $48\,\text{cm}$ delante de la lente; el rayo que pasa por el centro óptico sigue recto. Los dos emergen divergiendo y solo se cortan sus prolongaciones, a $32\,\text{cm}$ delante de la lente y por encima del eje: imagen virtual, derecha y tres veces menor.