Óptica geométrica: lentes y espejos

a) i) Imagen virtual y menor. Hace falta una lente divergente, y el objeto puede estar en cualquier posición delante de ella.

Una lente divergente ($f' < 0$) produce siempre el mismo tipo de imagen, sea cual sea la posición del objeto: virtual, derecha y menor, situada entre el foco imagen y la lente.

Trazado: el rayo paralelo al eje emerge divergiendo, como si procediera del foco imagen $F'$ (que en una divergente está a la izquierda); el rayo por el centro óptico no se desvía. Ambos divergen y hay que prolongarlos hacia atrás con línea discontinua: se cortan en el mismo lado que el objeto, más cerca de la lente y con menor tamaño.

a) ii) Imagen virtual y mayor. Hace falta una lente convergente con el objeto situado entre el foco objeto y la lente:$$|s| < f'$$Trazado: el rayo paralelo al eje pasa, tras la lente, por el foco imagen $F'$; el rayo por el centro óptico sigue recto. Al estar el objeto tan cerca, los rayos emergentes divergen y no llegan a cortarse; sus prolongaciones hacia atrás se cortan al mismo lado que el objeto, más lejos de la lente y con mayor tamaño. Es el funcionamiento de la lupa.

(Con el objeto más allá del foco, la misma lente convergente daría una imagen real e invertida, no virtual.)

b) i) Aplicamos el criterio de signos. El objeto está a la izquierda ($s < 0$) y la lente es divergente ($f' = -0{,}4\,\text{m}$). La imagen de una divergente es siempre virtual, así que también está a la izquierda ($s' < 0$).

La condición "la imagen aparece a mitad de distancia entre la lente y el objeto" significa que $|s'| = |s|/2$ y, siendo ambas negativas:$$s' = \frac{s}{2}$$Sustituimos en la ecuación de las lentes delgadas:$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{s} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}$$$$\frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \quad\Longrightarrow\quad s = f' = -0{,}4\ \text{m}$$El objeto está a $0{,}4\,\text{m}$ delante de la lente.

Comprobación: con $s = -0{,}4$ y $s' = -0{,}2$,$$\frac{1}{-0{,}2} - \frac{1}{-0{,}4} = -5 + 2{,}5 = -2{,}5 = \frac{1}{-0{,}4}\ \checkmark$$b) ii) Posición de la imagen:$$s' = \frac{s}{2} = -0{,}2\ \text{m}$$Aumento lateral y tamaño:$$\beta = \frac{s'}{s} = \frac{-0{,}2}{-0{,}4} = +0{,}5$$$$y' = \beta\,y = 0{,}5\cdot 0{,}5 = 0{,}25\ \text{m}$$Naturaleza: los tres signos la determinan.

• $s' < 0$ → virtual: no puede recogerse en una pantalla.
• $\beta > 0$ → derecha.
• $|\beta| = 0{,}5 < 1$ → menor, la mitad del objeto.

Es exactamente el caso i) del apartado a): virtual, derecha y menor, el único que puede dar una lente divergente.

Trazado de rayos: el rayo paralelo al eje sale divergiendo como si viniera de $F'$ (a $0{,}4\,\text{m}$ a la izquierda); el rayo por el centro óptico sigue recto. Prolongados hacia atrás, se cortan a $0{,}2\,\text{m}$ de la lente, justo a mitad de camino entre ella y el objeto.