Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Si fijamos una posición concreta $x = x_0$, la ecuación $y(x_0,t)$ deja de depender de $x$ y se convierte en una función solo del tiempo:$$y(t) = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0)$$con $\varphi_0 = -k x_0 + \varphi$ constante. Es decir, nos describe cómo oscila esa partícula concreta del medio a lo largo del tiempo: un movimiento armónico simple de amplitud $A$ y periodo $T = 2\pi/\omega$.

Representación gráfica: una sinusoide de $y$ frente a $t$, de amplitud $A$, que se repite cada periodo $T$. En el eje horizontal va el tiempo, no la posición.

(Si en cambio fijásemos un instante $t = t_0$, obtendríamos $y(x)$: la "foto" del medio en ese momento, una sinusoide que se repite cada longitud de onda $\lambda$.)

a) ii) Si fijamos a la vez la posición y el tiempo, ya no queda ninguna variable libre: la ecuación devuelve simplemente un número, la elongación de esa partícula concreta en ese instante concreto. Es decir, cuánto se ha separado de su posición de equilibrio, medido en metros. No es una función ni una gráfica, sino un valor puntual.

b) i) Comparamos la ecuación con la forma general $y = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi)$:$$A = 0{,}1\ \text{m} \qquad \omega = 5\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad k = \frac{5}{2}\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad \varphi = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$$Periodo:$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5\pi} = 0{,}4\ \text{s}$$Longitud de onda:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2{,}5\pi} = 0{,}8\ \text{m}$$Velocidad de propagación:$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{5\pi}{2{,}5\pi} = 2\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(También $v = \lambda/T = 0{,}8/0{,}4 = 2\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ ✓.) El signo menos delante de $kx$ indica que la onda avanza en el sentido positivo del eje $x$.

b) ii) La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto al tiempo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}1\cdot 5\pi\,\cos\!\left(5\pi t - 2{,}5\pi x + \frac{\pi}{2}\right)$$$$v_y(x,t) = 0{,}5\pi\,\cos\!\left(5\pi t - 2{,}5\pi x + \frac{\pi}{2}\right)\ \ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Evaluamos la fase en $x = 2\,\text{m}$ y $t = 1\,\text{s}$:$$\varphi = 5\pi\cdot 1 - 2{,}5\pi\cdot 2 + \frac{\pi}{2} = 5\pi - 5\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$$Y como $\cos(\pi/2) = 0$:$$v_y(2,1) = 0{,}5\pi\cdot 0$$$$v_y = 0\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$La velocidad de oscilación es nula en ese instante. La interpretación es clara: la elongación en ese punto y momento vale $y = 0{,}1\,\text{sen}(\pi/2) = 0{,}1\,\text{m} = A$, es decir, la partícula está en su máxima elongación, en el punto de retorno de su movimiento armónico. Y en los extremos del MAS la velocidad es siempre cero (aunque la aceleración sea máxima).