a) Escriba la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje X. ¿Qué son el periodo y la longitud de onda y qué relación hay entre ellos? b) Una onda se propaga en sentido +X a 10\,\text{m s}^{-1}, con f = 2\,\text{Hz} y A = 0{,}4\,\text{m}. Escriba su ecuación (en t=0 la elongación en el origen es 0) y calcule la velocidad de una partícula en x=2\,\text{m}, t=1\,\text{s}.

FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

a) Escriba la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje X. ¿Qué son el periodo y la longitud de onda y qué relación hay entre ellos?

b) Una onda se propaga en sentido

+X

10\,\text{m s}^{-1}

, con

f = 2\,\text{Hz}

A = 0{,}4\,\text{m}

. Escriba su ecuación (en

t=0

la elongación en el origen es

0

) y calcule la velocidad de una partícula en

x=2\,\text{m}

t=1\,\text{s}

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Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}4\,\text{sen}\!\left(4\pi t - \tfrac{2\pi}{5}x\right)\ \text{m}\quad;\quad v_{\text{vib}}(2;1) = -4{,}07\ \text{m s}^{-1}\;}

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Estrategia

Onda hacia

-x

y = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi)

. El periodo

T

es la periodicidad temporal y la longitud de onda

\lambda

la espacial, con

v = \lambda/T = \lambda f

. En b):

\omega=2\pi f

\lambda=v/f

k=2\pi/\lambda

; como

y(0,0)=0

usamos seno; la velocidad de vibración es

\partial y/\partial t

Desarrollo

a) Una onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje X es:

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)

donde

A

es la amplitud (m),

\omega = 2\pi/T

la frecuencia angular (rad/s),

k = 2\pi/\lambda

el número de onda (rad/m) y

\varphi_0

la fase inicial. El signo

+

entre

\omega t

kx

indica la propagación hacia

-x

Periodo ( $T$ ): tiempo que tarda un punto del medio en realizar una oscilación completa; también, tiempo que tarda la onda en avanzar una longitud de onda. Es la periodicidad temporal: $y(x,t+T) = y(x,t)$ . Se mide en s.
Longitud de onda ( $\lambda$ ): distancia mínima entre dos puntos que vibran en fase (por ejemplo, dos crestas consecutivas). Es la periodicidad espacial: $y(x+\lambda,t) = y(x,t)$ . Se mide en m.
Relación: en un periodo la perturbación avanza una longitud de onda, luego la velocidad de propagación es

v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f

así que, en un medio dado (

v

fija),

\lambda

es proporcional a

T

.

b)

\omega = 2\pi\cdot2 = 4\pi

;

\lambda = v/f = 10/2 = 5\,\text{m}

;

k = 2\pi/5

. Propagación

+x

y(0,0)=0

y(x,t) = 0{,}4\,\text{sen}\!\left(4\pi t - \tfrac{2\pi}{5}x\right)\ \text{m}

Velocidad de vibración en

x=2

t=1

v_{\text{vib}} = 0{,}4\cdot4\pi\cos\!\left(4\pi - \tfrac{4\pi}{5}\right) = 1{,}6\pi\cos\!\left(\tfrac{16\pi}{5}\right) = 1{,}6\pi\cdot(-0{,}809) = -4{,}07\ \text{m s}^{-1}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El signo entre $\omega t$ y $kx$ marca el sentido: $+$ hacia $-x$ , $-$ hacia $+x$ . La velocidad de vibración (máx. $A\omega = 1{,}6\pi\approx5\,\text{m/s}$ ) es muy distinta de los $10\,\text{m/s}$ de propagación.

Paso 1 de 3

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