FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Andalucía · 2022 · Junio · Opción A

Enunciado

a) ¿Qué significa que una onda armónica es doblemente periódica? Explíquelo apoyándose en las gráficas correspondientes.

b) Una onda armónica transversal se propaga en sentido negativo del eje

OX

con una velocidad de propagación de

3\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

. Si su longitud de onda es de

1{,}5\,\text{m}

y su amplitud es de

2\,\text{m}

: i) escriba la ecuación de la onda teniendo en cuenta que en el punto

x = 0\,\text{m}

y en el instante

t = 0\,\text{s}

la perturbación es nula y la velocidad de oscilación es positiva. ii) Determine la velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera del medio.

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Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 2\,\text{sen}\!\left(4\pi t + \tfrac{4\pi}{3}x\right)\ \ (\text{SI})\;}

\boxed{\;v_{\text{máx}} = 8\pi = 25{,}1\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En b) i) hay dos condiciones iniciales y hacen falta las dos: la elongación nula deja dos candidatos para la fase (

0

\pi

), y es la velocidad positiva la que elige entre ellos. Ese segundo paso es el que se suele olvidar.

Y ojo con el sentido: hacia

-X

los términos

\omega t

kx

llevan el mismo signo.

Desarrollo

a) Una onda armónica es doblemente periódica porque se repite tanto en el tiempo como en el espacio:

Periodicidad temporal. Si nos fijamos en un punto concreto de la cuerda (fijamos $x$ ) y representamos su elongación frente al tiempo, $y$ frente a $t$ , obtenemos una sinusoide que se repite cada periodo $T$ . Ese punto vuelve a su mismo estado de vibración cada $T$ segundos. Magnitudes asociadas: $T$ (s), $f = 1/T$ (Hz) y $\omega = 2\pi/T$ ( $\text{rad}\,\text{s}^{-1}$ ).

Periodicidad espacial. Si congelamos el tiempo (fijamos $t$ ) y representamos la forma de la cuerda frente a la posición, $y$ frente a $x$ —una "fotografía" de la onda—, obtenemos otra sinusoide que se repite cada longitud de onda $\lambda$ . Magnitudes asociadas: $\lambda$ (m) y $k = 2\pi/\lambda$ ( $\text{rad}\,\text{m}^{-1}$ ).

Las dos gráficas son sinusoides de aspecto parecido pero significado distinto: en el eje horizontal de una hay segundos y en el de la otra, metros. Ambas periodicidades se enlazan mediante la velocidad de propagación:

v = \frac{\lambda}{T} = \lambda\,f = \frac{\omega}{k}

b) i) Constantes de la onda:

f = \frac{v}{\lambda} = \frac{3}{1{,}5} = 2\ \text{Hz} \qquad \omega = 2\pi f = 4\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1{,}5} = \frac{4\pi}{3} = 4{,}19\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}

Como se propaga en sentido negativo del eje

OX

, los signos de

\omega t

kx

coinciden:

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + k x + \varphi_0)

Imponemos las dos condiciones en

x = 0

t = 0

:

Elongación nula:

y(0,0) = 2\,\text{sen}\,\varphi_0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = 0 \ \text{ó}\ \pi

Velocidad de oscilación positiva. Derivando respecto al tiempo:

v_y(x,t) = A\,\omega\cos(\omega t + kx + \varphi_0) \quad\Longrightarrow\quad v_y(0,0) = 2\cdot 4\pi\,\cos\varphi_0 > 0

Esto exige

\cos\varphi_0 > 0

, lo que descarta

\varphi_0 = \pi

(donde el coseno vale

-1

) y deja

\varphi_0 = 0

La ecuación de la onda es, por tanto,

y(x,t) = 2\,\text{sen}\!\left(4\pi\,t + \frac{4\pi}{3}\,x\right)\ \ (\text{SI})

b) ii) Velocidad máxima de oscilación:

v_{\text{máx}} = A\,\omega = 2\cdot 4\pi = 8\pi

v_{\text{máx}} = 25{,}1\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Obsérvese que es muy superior a la velocidad de propagación (

3\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

): son magnitudes independientes.

Consejo

Usa las dos condiciones iniciales: la elongación nula deja $\varphi_0 = 0$ o $\pi$ , y solo la velocidad positiva decide. Quedarse en la primera es dar media respuesta.

Y hacia $-X$ los signos de $\omega t$ y $kx$ coinciden. Es el detalle que más se falla al escribir una ecuación de onda.

Paso 1 de 3

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