Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Dos puntos de una onda armónica están en fase cuando en todo instante tienen la misma elongación y la misma velocidad de oscilación: se mueven exactamente igual, "al unísono". Cuando uno está en una cresta, el otro también; cuando uno pasa por la posición de equilibrio subiendo, el otro también.

Matemáticamente, su diferencia de fase es un múltiplo par de $\pi$:$$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 2n\pi \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta x = n\,\lambda$$Es decir, están separados un número entero de longitudes de onda.

a) ii) Dos puntos están en oposición de fase cuando en todo instante tienen elongaciones opuestas: cuando uno está en una cresta, el otro está en un valle. Su diferencia de fase es un múltiplo impar de $\pi$:$$\Delta\varphi = (2n+1)\pi \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta x = (2n+1)\frac{\lambda}{2}$$es decir, están separados un número impar de semilongitudes de onda.

Dibujo: sobre una sinusoide, dos crestas consecutivas (o dos valles) marcan puntos en fase, separados $\lambda$. Una cresta y el valle contiguo marcan puntos en oposición de fase, separados $\lambda/2$.

b) i) Calculamos los parámetros de la onda:$$\omega = 2\pi\,f = 2\pi\cdot 50 = 100\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}25} = 8\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$(De paso, la velocidad de propagación es $v = \lambda f = 0{,}25\cdot 50 = 12{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$.)

Ahora las dos condiciones del enunciado:

• La onda avanza en el sentido negativo del eje $OX$, luego en la fase aparece $+kx$ (con signo $+$; el signo $-$ correspondería al sentido positivo).
• En el instante inicial la elongación en el foco ($x = 0$) es nula, así que $y(0,0) = 0$: la función que empieza en cero es el seno, sin fase inicial.

$$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + k x)$$$$y(x,t) = 0{,}05\,\text{sen}(100\pi\,t + 8\pi\,x)\ \ \text{(S.I.)}$$Comprobación: $y(0,0) = 0{,}05\,\text{sen}(0) = 0$ ✓.

b) ii) La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto al tiempo, con $x$ fija:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}05\cdot 100\pi\,\cos(100\pi\,t + 8\pi\,x)$$$$v_y(x,t) = 5\pi\,\cos(100\pi\,t + 8\pi\,x)\ \ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Su valor máximo se alcanza cuando el coseno vale $\pm 1$:$$v_{\text{máx}} = \omega\,A = 5\pi$$$$v_{\text{máx}} = 15{,}7\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Es mayor que la velocidad de propagación ($12{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$), lo cual no supone ninguna contradicción: son magnitudes distintas. La primera describe con qué rapidez se agitan las partículas de la cuerda (transversalmente) y la segunda a qué ritmo avanza la perturbación a lo largo de ella.