FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

También trata: Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas · Óptica geométrica: lentes y espejos
Andalucía · 2025 · Junio
Enunciado
a) Se desea obtener una imagen virtual y de mayor tamaño que el objeto utilizando una lente delgada. Justifique, apoyándose en el esquema del trazado de rayos y explicando su construcción, qué tipo de lente debe usarse e indique dónde debe colocarse el objeto.

b1) Por una cuerda tensa se propaga, en el sentido negativo del eje OXOX, una onda armónica transversal de 0,1 m0{,}1\,\text{m} de amplitud, 5 Hz5\,\text{Hz} de frecuencia y una velocidad de propagación de 0,5 m s−10{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}. Determine razonadamente: i) (0,75 puntos) la ecuación de la onda, sabiendo que para t=0 st = 0\,\text{s} y x=0 mx = 0\,\text{m} se encuentra en la posición más alta de su oscilación; ii) (0,5 puntos) la diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados 10 cm10\,\text{cm} para un mismo instante; iii) (0,25 puntos) la distancia mínima entre dos puntos de la cuerda que se encuentren en oposición de fase en un mismo instante.

b2) Un recipiente contiene agua sobre la que se ha colocado una capa de aceite. Desde el aire se hace incidir sobre la capa de aceite un haz de luz monocromático que forma un ángulo de 50∘50^\circ con la normal. i) (0,5 puntos) Realice un esquema de la trayectoria que sigue el rayo cuando se refracta en los diferentes medios (aire, aceite y agua). ii) (0,75 puntos) Calcule los valores de los ángulos que forman con la normal el rayo refractado en el aceite y en el agua. iii) (0,25 puntos) Calcule la velocidad de la luz en el agua.

Datos: c=3×108 m s−1c = 3\times 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}; nagua=1,33n_{\text{agua}} = 1{,}33; naceite=1,47n_{\text{aceite}} = 1{,}47; naire=1n_{\text{aire}} = 1.
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Resultado
  Lente convergente con el objeto entre el foco y la lente (lupa)  \boxed{\;\text{Lente convergente con el objeto entre el foco y la lente (lupa)}\;}  y(x,t)=0,1cos⁡(10πt+20πx) (SI);Δφ=2π rad;Δxmin⁡=5 cm  \boxed{\;y(x,t) = 0{,}1\cos(10\pi t + 20\pi x)\ \text{(SI)};\quad \Delta\varphi = 2\pi\ \text{rad};\quad \Delta x_{\min} = 5\ \text{cm}\;}  r^aceite=31,4∘r^agua=35,2∘vagua=2,26⋅108 m s−1  \boxed{\;\hat{r}_{\text{aceite}} = 31{,}4^\circ\qquad \hat{r}_{\text{agua}} = 35{,}2^\circ\qquad v_{\text{agua}} = 2{,}26\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}
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Estrategia

En a) solo una lente puede dar imagen virtual y mayor: la convergente con el objeto entre el foco y la lente. Es el caso de la lupa.

En b1) hay que montar la ecuación de una onda que va hacia −X-X y que en el origen está en su punto más alto en t=0t=0: eso pide un coseno (o un seno con φ0=π/2\varphi_0 = \pi/2). Después, la diferencia de fase entre dos puntos en un mismo instante es simplemente Δφ=k Δx\Delta\varphi = k\,\Delta x.

En b2) vuelve el sándwich aire-aceite-agua: al ser las caras paralelas, la capa intermedia no altera el ángulo final.
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Desarrollo

a) Para obtener una imagen virtual y mayor hay que usar una lente convergente con el objeto situado entre el foco objeto y la lente (∣s∣<f′|s| < f').

Trazado de rayos: se dibuja el eje óptico, la lente convergente (segmento vertical con puntas de flecha hacia fuera), los focos FF (a la izquierda) y F′F' (a la derecha) y el objeto como una flecha vertical entre FF y la lente. Desde la punta del objeto se trazan dos rayos: el rayo paralelo al eje, que tras la lente sale pasando por el foco imagen F′F'; y el rayo que se dirige al centro óptico, que no se desvía. Al estar el objeto dentro de la distancia focal, los rayos emergentes divergen y no llegan a cortarse: solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás, al mismo lado que el objeto (se dibujan a trazos), en un punto más alejado de la lente que el objeto y más arriba que su punta. La imagen es, por tanto, virtual, derecha y de mayor tamaño. Es el funcionamiento de la lupa.

Si el objeto estuviera más allá del foco (∣s∣>f′|s| > f'), los rayos emergentes sí se cortarían al otro lado de la lente y la imagen sería real e invertida; por eso la condición es ∣s∣<f′|s| < f'. Una lente divergente nunca sirve: con objeto real da siempre imagen virtual, derecha y menor.
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b1) Datos: A=0,1 mA = 0{,}1\,\text{m}, f=5 Hzf = 5\,\text{Hz}, v=0,5 m s−1v = 0{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}.ω=2πf=10π rad s−1λ=vf=0,55=0,1 mk=2πλ=20π rad m−1\omega = 2\pi f = 10\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad \lambda = \frac{v}{f} = \frac{0{,}5}{5} = 0{,}1\,\text{m} \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = 20\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}i) Se propaga hacia −X-X, luego los signos de ωt\omega t y kxkx coinciden. En t=0t=0, x=0x=0 la elongación es máxima, lo que se consigue con un coseno:y(x,t)=0,1 cos⁡(10πt+20πx)  (SI)y(x,t) = 0{,}1\,\cos(10\pi t + 20\pi x)\ \ (\text{SI})(equivalentemente, y=0,1 sen(10πt+20πx+π/2)y = 0{,}1\,\text{sen}(10\pi t + 20\pi x + \pi/2)).

ii) Diferencia de fase entre dos puntos separados Δx=0,1 m\Delta x = 0{,}1\,\text{m} en el mismo instante:Δφ=k Δx=20π⋅0,1=2π rad\Delta\varphi = k\,\Delta x = 20\pi\cdot 0{,}1 = 2\pi\ \text{rad}Como Δx=λ\Delta x = \lambda exactamente, los dos puntos están en fase.

iii) Dos puntos en oposición de fase cumplen Δφ=π\Delta\varphi = \pi:k Δx=π⟹Δx=λ2=0,05 m=5 cmk\,\Delta x = \pi \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{\lambda}{2} = 0{,}05\ \text{m} = 5\ \text{cm}
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b2) i) El rayo entra desde el aire y se acerca a la normal al pasar al aceite (nn mayor); al pasar del aceite al agua se aleja un poco, porque el agua es menos refringente que el aceite. El ángulo final queda entre el del aceite y el de incidencia.

ii) Aire → aceite:1⋅sen 50∘=1,47 sen r^aceite⟹sen r^aceite=0,7661,47=0,5211\cdot\text{sen}\,50^\circ = 1{,}47\,\text{sen}\,\hat{r}_{\text{aceite}} \quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\hat{r}_{\text{aceite}} = \frac{0{,}766}{1{,}47} = 0{,}521r^aceite=31,4∘\hat{r}_{\text{aceite}} = 31{,}4^\circAceite → agua. Como las caras son paralelas, el término del aceite se cancela y queda como si el rayo pasara directamente del aire al agua:1⋅sen 50∘=1,33 sen r^agua⟹sen r^agua=0,7661,33=0,5761\cdot\text{sen}\,50^\circ = 1{,}33\,\text{sen}\,\hat{r}_{\text{agua}} \quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\hat{r}_{\text{agua}} = \frac{0{,}766}{1{,}33} = 0{,}576r^agua=35,2∘\hat{r}_{\text{agua}} = 35{,}2^\circiii) Velocidad de la luz en el agua:v=cnagua=3⋅1081,33=2,26⋅108 m s−1v = \frac{c}{n_{\text{agua}}} = \frac{3\cdot 10^{8}}{1{,}33} = 2{,}26\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}
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Consejo

En b1) i) la condición "está en lo más alto" fija la fase inicial. Con seno tendrías que añadir π/2\pi/2; con coseno sale directo. Explica la elección, que es lo que se corrige.

Y ojo con ii): Δφ=2π\Delta\varphi = 2\pi no es "cero desfase por error", es exactamente una longitud de onda de separación. Dilo así: están en fase.
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