Óptica geométrica: lentes y espejos

Usamos el convenio DIN (luz de izquierda a derecha, objeto a la izquierda, $s<0$), la ecuación de las lentes y el aumento lateral:$$\frac1{s'}-\frac1s = \frac1{f'}\qquad\qquad \beta = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s}$$Imagen virtual ⇔ $s'<0$ (a la izquierda de la lente, del lado del objeto); derecha ⇔ $\beta>0$, que con $s<0$ exige también $s'<0$.

a.i) Lente convergente ($f'>0$). Despejando, $\dfrac1{s'} = \dfrac1{f'} + \dfrac1s$, que es negativo solo si $|s| < f'$: el objeto debe estar entre el foco objeto $F$ y la lente. Entonces $|s'| > |s|$ y $\beta = s'/s > 1$: imagen virtual, derecha y mayor (lupa).
Trazado de rayos: desde el extremo superior del objeto (situado entre $F$ y la lente) se trazan (1) un rayo paralelo al eje, que tras la lente pasa por el foco imagen $F'$, y (2) un rayo que pasa por el centro óptico sin desviarse. Los dos rayos refractados divergen; se prolongan hacia atrás (con línea discontinua) y sus prolongaciones se cortan a la izquierda de la lente, más lejos que el objeto y por encima de él: ahí está la imagen, derecha y mayor.

a.ii) Lente divergente ($f'<0$). $\dfrac1{s'} = \dfrac1{f'} + \dfrac1s$ es suma de dos negativos, luego $s'<0$ para cualquier posición del objeto real, y además $|s'| < |s|$ (y $|s'|<|f'|$), por lo que $0<\beta<1$: imagen virtual, derecha y menor, situada entre el foco imagen $F'$ (que está a la izquierda) y la lente.
Trazado de rayos: (1) un rayo paralelo al eje sale de la lente divergiendo como si procediera del foco imagen $F'$ (a la izquierda); se prolonga hacia atrás hasta $F'$ con línea discontinua. (2) El rayo por el centro óptico no se desvía. La prolongación del primero corta al segundo entre $F'$ y la lente: imagen derecha y más pequeña.

b) Solo una lente convergente da imágenes reales de un objeto real (una divergente siempre las da virtuales), así que es una lente convergente. Imagen invertida y tres veces mayor: $\beta = s'/s = -3$. Objeto e imagen (pantalla) quedan a ambos lados de la lente. Con objeto e imagen a ambos lados: $|s| + |s'| = 4$ y $|s'| = 3|s|$:$$4|s| = 4 \Rightarrow |s| = 1\ \text{m},\quad |s'| = 3\ \text{m}\quad(s=-1,\ s'=+3)$$Ecuación de las lentes:$$\frac1{s'}-\frac1s = \frac1{f'}\Rightarrow \frac13 - \frac1{-1} = \frac1{f'} = \frac43 \Rightarrow f' = 0{,}75\ \text{m}$$La lente se coloca a $1\,\text{m}$ del objeto y a $3\,\text{m}$ de la pantalla. Comprobación: $f'>0$ (convergente) y el objeto está fuera de la focal ($|s| = 1\,\text{m} > f'$), condición para una imagen real.