FísicaDifícilProblema · 2,5 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Andalucía · 2019 · Septiembre · Opción B
Enunciado
a) El índice de refracción de un vidrio es mayor que el del aire. Razone cómo cambian, al pasar la luz del aire al vidrio: la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación.

b) Un rayo de luz de longitud de onda en el vacío 6,5⋅10−7 m6{,}5\cdot10^{-7}\,\text{m} incide desde el aire sobre el extremo de una fibra óptica formando un ángulo α\alpha con el eje de la fibra (n1=1,5n_1 = 1{,}5), recubierta de un material n2=1,4n_2 = 1{,}4. Determine: i) la longitud de onda dentro de la fibra; ii) el valor máximo de α\alpha para que haya reflexión total interna en PP.

Datos: c=3⋅108 m s−1c = 3\cdot10^{8}\,\text{m s}^{-1}; naire=1n_{\text{aire}} = 1.
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Resultado
  λfibra=4,33⋅10−7 m;αmax⁡=32,6∘  \boxed{\;\lambda_{\text{fibra}} = 4{,}33\cdot10^{-7}\ \text{m}\quad;\quad \alpha_{\max} = 32{,}6^\circ\;}
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Estrategia

Al cambiar de medio, la frecuencia no cambia (la impone la fuente); como v=c/nv = c/n y λ=v/f\lambda = v/f, tanto la velocidad como la longitud de onda disminuyen por el factor nn. En b), primero λfibra=λ0/n1\lambda_{\text{fibra}} = \lambda_0/n_1. Para la reflexión total en la pared, el ángulo interno debe superar el crítico (sen θc=n2/n1\text{sen}\,\theta_c = n_2/n_1); combinando con la refracción en la cara de entrada se llega al ángulo de aceptación: sen αmax⁡=n12−n22\text{sen}\,\alpha_{\max} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}.
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Desarrollo

a)
  • Frecuencia: no cambia. La frecuencia la impone la fuente: los átomos de la superficie de separación oscilan forzados por la onda incidente y reemiten con esa misma frecuencia. Si cambiara, en la frontera no se conservaría el número de oscilaciones por segundo que llegan y salen.
  • Velocidad: disminuye. El índice de refracción es n=c/vn = c/v, así que v=c/nv = c/n. Como nvidrio>nairen_{\text{vidrio}}>n_{\text{aire}}, vvidrio=nairenvidrio vaire<vairev_{\text{vidrio}} = \dfrac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{vidrio}}}\,v_{\text{aire}} < v_{\text{aire}}.
  • Longitud de onda: disminuye. Como λ=v/f\lambda = v/f y ff no cambia, λ\lambda varía en la misma proporción que vv: λvidrio=nairenvidrio λaire<λaire\lambda_{\text{vidrio}} = \dfrac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{vidrio}}}\,\lambda_{\text{aire}} < \lambda_{\text{aire}}.
b.i)λfibra=λ0n1=6,5⋅10−71,5=4,33⋅10−7 m\lambda_{\text{fibra}} = \frac{\lambda_0}{n_1} = \frac{6{,}5\cdot10^{-7}}{1{,}5} = 4{,}33\cdot10^{-7}\ \text{m}b.ii) Como en la figura, el rayo entra por la cara frontal de la fibra (perpendicular al eje), se refracta con un ángulo θr\theta_r respecto al eje (que es la normal a esa cara) y llega a la pared lateral en PP, donde su ángulo de incidencia respecto a la normal a la pared es φ=90∘−θr\varphi = 90^\circ - \theta_r.

Para que haya reflexión total en PP (paso de n1=1,5n_1 = 1{,}5 a n2=1,4n_2 = 1{,}4), φ\varphi debe ser mayor o igual que el ángulo límite:sen φL=n2n1=1,41,5=0,933  ⇒  φL=69,0∘\text{sen}\,\varphi_L = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1{,}4}{1{,}5} = 0{,}933\;\Rightarrow\;\varphi_L = 69{,}0^\circPor tanto θr≤90∘−69,0∘=21,0∘\theta_r \le 90^\circ - 69{,}0^\circ = 21{,}0^\circ. En la cara de entrada, por la ley de Snell (naire=1n_{\text{aire}} = 1):sen α=n1 sen θr\text{sen}\,\alpha = n_1\,\text{sen}\,\theta_rCuanto mayor es α\alpha, mayor es θr\theta_r y menor φ\varphi; el valor máximo de α\alpha corresponde a θr=21,0∘\theta_r = 21{,}0^\circ (φ=φL\varphi = \varphi_L):sen αmax⁡=n1 sen(90∘−φL)=n1cos⁡φL=n11−n22n12=n12−n22=1,52−1,42=0,539\text{sen}\,\alpha_{\max} = n_1\,\text{sen}(90^\circ-\varphi_L) = n_1\cos\varphi_L = n_1\sqrt{1-\frac{n_2^2}{n_1^2}} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{1{,}5^2 - 1{,}4^2} = 0{,}539αmax⁡=arcsin⁡(0,539)=32,6∘\alpha_{\max} = \arcsin(0{,}539) = 32{,}6^\circ
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
La simulación muestra la cara de entrada (aire → fibra) con α=αmax⁡\alpha = \alpha_{\max}; para ver la reflexión total en PP, pon n1=1,5n_1 = 1{,}5, n2=1,4n_2 = 1{,}4 y un ángulo mayor que 69∘69^\circ.
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Consejo

Lo que se conserva al cambiar de medio es la frecuencia, no la longitud de onda (error muy típico). En la fibra, cuida los ángulos: α\alpha se mide respecto al eje, y el ángulo relevante para la reflexión total es el que forma el rayo con la normal a la pared (el complementario del de refracción).
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