Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

a) i) Para que pueda producirse reflexión total, la luz debe pasar de un medio más refringente a otro menos refringente:$$n_1 > n_2$$Justificación. Por la ley de Snell,$$\text{sen}\,\hat{r} = \frac{n_1}{n_2}\,\text{sen}\,\hat{\imath}$$Si $n_1 > n_2$, el factor $n_1/n_2$ es mayor que $1$ y el rayo refractado se aleja de la normal ($\hat{r} > \hat{\imath}$). Al aumentar la incidencia, llega un momento en que $\hat{r}$ alcanza los $90^\circ$ y el rayo sale rasante; a partir de ahí, la ley de Snell exigiría $\text{sen}\,\hat{r} > 1$, lo cual es imposible: desaparece el rayo refractado y toda la energía se refleja.

Si fuese $n_2 > n_1$, el rayo se acercaría siempre a la normal y nunca podría alcanzar los $90^\circ$: no habría reflexión total en ningún caso. Ésta es la base de la fibra óptica.

a) ii) El ángulo límite $L$ es aquel para el que el rayo refractado sale rasante, es decir, $\hat{r} = 90^\circ$. Imponiéndolo en la ley de Snell:$$n_1\,\text{sen}\,L = n_2\,\text{sen}\,90^\circ = n_2$$$$\boxed{\text{sen}\,L = \frac{n_2}{n_1}} \qquad\Longrightarrow\qquad L = \text{arcsen}\,\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$Obsérvese que la expresión solo tiene sentido si $n_2 < n_1$, lo que confirma lo dicho en i): el cociente debe ser menor que la unidad para que exista el arcoseno.

b) i) Longitud de onda en el vacío:$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot 10^{8}}{2\cdot 10^{15}}$$$$\lambda = 1{,}5\cdot 10^{-7}\ \text{m}$$(Está en el ultravioleta.) Los parámetros de la onda son:$$\omega = 2\pi\,f = 2\pi\cdot 2\cdot 10^{15} = 1{,}257\cdot 10^{16}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1{,}5\cdot 10^{-7}} = 4{,}189\cdot 10^{7}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$La onda avanza en el sentido negativo del eje $OX$, así que la fase lleva $+kx$; y el campo eléctrico oscila en el eje $OY$, luego su dirección es $\vec{j}$:$$\vec{E}(x,t) = 2\,\text{sen}\bigl(1{,}257\cdot 10^{16}\,t + 4{,}189\cdot 10^{7}\,x\bigr)\ \vec{j}\ \ \text{V}\,\text{m}^{-1}$$b) ii) En una onda electromagnética que se propaga en el vacío, las amplitudes de los dos campos están ligadas por$$E_0 = c\,B_0 \quad\Longrightarrow\quad B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{2}{3\cdot 10^{8}}$$$$B_0 = 6{,}67\cdot 10^{-9}\ \text{T}$$Dirección de oscilación de $\vec{B}$. En una onda electromagnética, $\vec{E}$, $\vec{B}$ y la dirección de propagación forman un triedro directo: el producto $\vec{E}\times\vec{B}$ apunta en el sentido de propagación.

Aquí la propagación es según $-\vec{i}$ y el campo eléctrico oscila según $\vec{j}$, así que necesitamos un vector $\hat{B}$ tal que$$\vec{j}\times\hat{B} = -\vec{i}$$Probando con los vectores del eje $Z$:$$\vec{j}\times\vec{k} = +\vec{i} \qquad \vec{j}\times(-\vec{k}) = -\vec{i}\ \checkmark$$Luego el campo magnético oscila en la dirección del eje $OZ$, con sentido $-\vec{k}$:$$\vec{B}(x,t) = -6{,}67\cdot 10^{-9}\,\text{sen}\bigl(1{,}257\cdot 10^{16}\,t + 4{,}189\cdot 10^{7}\,x\bigr)\ \vec{k}\ \ \text{T}$$Los dos campos son perpendiculares entre sí y ambos perpendiculares a la dirección de propagación —la onda es transversal— y oscilan en fase, alcanzando sus máximos simultáneamente.